我知道这个问题之前已经发布过，但我就是搞不懂问题的本质，希望有人能帮我解决这个问题。这是我的代码，从第 99 行到第 174 行。编译器错误在代码下方。
\[
A_C = \begin{bmatrix}1 && 0 && -1 \\ -1 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 1\end{bmatrix}
\] \newline
\section{Aufgabe}
Nutzen wie in der Aufgabenstellung vorrausgesetzt die Definition der Differenzierbarkeit:
\[
\lim\limits_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}\frac{f(x+\delta x,y+\delta y) - f(x,y) - f'(x,y)(\delta x,\delta y)}{\sqrt{(\delta x)^2 + (\delta y)^2)}}
\] \newline
Betrachten wir zun\"achst den Z\"ahler:
\[
f(x+\delta x,y+\delta y) - f(x,y) - f'(x,y)(\delta x,\delta y)
\] \newline
\\
\begin{multline*}
= \begin{pmatrix} y + \delta y - (x+\delta x)^2\\y+\delta y\\x+\delta x\end{pmatrix} \\
- \begin{pmatrix} y-x^2\\y\\x\end{pmatrix} \\
- \begin{pmatrix} -2x && 1\\0 && 1\\1 && 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \delta x\\\delta y\end{pmatrix}
\end{multline*}
\begin{multline*}
= \begin{pmatrix} -x^2 - 2x \delta x - (\delta x)^2 + y + \delta y \\y+\delta y\\x+\delta x\end{pmatrix} \\
- \begin{pmatrix} y-x^2\\y\\x\end{pmatrix} \\
- \begin{pmatrix} -2x \delta x + \delta y\\\delta y\\\delta x\end{pmatrix}
\end{multline*}
\[
= \begin{pmatrix} -2\delta x - (\delta x)^2 + \delta y \\ \delta y \\ \delta x \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2x\delta x + \delta y \\ \delta y \\ \delta x\end{pmatrix}
\] \newline
\[
= \begin{pmatrix} -(\delta x)^2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
Betrachtung von beiden f\"uhrt uns nun auf:
\[
\lim\limits_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}\begin{pmatrix}-(\frac{(\delta x)^2}{\sqrt{\delta x ^2 + \delta y ^2}} \\0\\0\end{pmatrix}
\]
Da $\lim\limits_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)} 0 = 0$, betrachten wir nur den Grenzwert der 1. Komponente, bzw. zunächst nur den Zähler $(\delta x)^2$
Stellen wir zuerst fest:
\[
-(\delta x)^2 \le 0 \ge -(\delta y)^2 \Rightarrow -(\delta x)^2 \le ((\delta x)^2 + (\delta y)^2)
\] \newline
Sowie
\[
-((\delta x)^2 + (\delta y)^2) \le -(\delta x)^2
\] \newline
Also
\[
-((\delta x)^2 + (\delta y)^2) \le -(\delta x)^2 \le ((\delta x)^2 + (\delta y)^2)
\] \newline
Daraus folgt für den gesuchten Grenzwert: \newline
\[
\lim\limits_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}\frac{-((\delta x)^2 + (\delta y)^2)}{\sqrt{\delta x ^2 + \delta y ^2}}
\] \newline
\[
\le
\lim\limits_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}\frac{-(\delta x)^2}{\sqrt{\delta x ^2 + \delta y ^2}}
\] \newline
\[
\le
\lim\limits_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}\frac{((\delta x)^2 + (\delta y)^2)}{\sqrt{\delta x ^2 + \delta y ^2}}
\] \newline
Durch Anwendung der Potenzregeln folgt:
\[
\lim\limits_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}-\sqrt{\delta x ^2 + \delta y ^2}
\le
\lim\limits_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}\frac{-(\delta x)^2}{\sqrt{\delta x ^2 + \delta y ^2}}
\le
\lim\limits_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}\sqrt{\delta x ^2 + \delta y ^2}
\]
Da $(\delta x) ^2 und (\delta y) ^2 beide alleine gegen 0 gehen muss die Summe der beiden, und die Wurzel der Summe natürlich auch gegen 0 gehen. Daraus folgt:
\[
0
\le
\lim\limits_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}\frac{-(\delta x)^2}{\sqrt{\delta x ^2 + \delta y ^2}}
\le
0
\] \newline
Der Grenzwert muss somit auch gegen 0 streben (Sandwich theorem).
Somit strebt der $\vec{Fehler}$ schneller als linear gegen 0, also ist unsere Funktion diff'bar mit der gegebenen Ableitung.
编译器错误：
(...)
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 101--102
[3]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 112--114
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 112--114
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 117--118
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 120--121
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 123--124
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 126--127
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 129--130
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 132--133
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 153--155
[4]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 157--158
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 161--162
! LaTeX Error: Bad math environment delimiter.
See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation.
Type H <return> for immediate help.
...
l.174 \[
?
答案1
您的错误在于使用了\newline应该很少使用（如果有的话）的东西。
您还拥有连续显示环境，这不是最好的选择。这里有一个建议，它还纠正了您使用的一些浪费空间的结构。
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{mathtools}
\begin{document}
\[
A_C = \begin{bmatrix}1 && 0 && -1 \\ -1 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 1\end{bmatrix}
\]
\section{Aufgabe}
Nutzen wie in der Aufgabenstellung vorrausgesetzt die Definition der
Differenzierbarkeit:
\[
\lim_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}
\frac{f(x+\delta x,y+\delta y) - f(x,y) - f'(x,y)(\delta x,\delta y)}
{\sqrt{(\delta x)^2 + (\delta y)^2)}}
\]
Betrachten wir zun\"achst den Z\"ahler:
\begin{align*}
&f(x+\delta x,y+\delta y) - f(x,y) - f'(x,y)(\delta x,\delta y)
\\
&\qquad= \begin{pmatrix} y + \delta y - (x+\delta x)^2\\y+\delta y\\x+\delta x\end{pmatrix}
- \begin{pmatrix} y-x^2\\y\\x\end{pmatrix}
- \begin{pmatrix} -2x && 1\\0 && 1\\1 && 0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \delta x\\\delta y\end{pmatrix}
\\
&\qquad= \begin{pmatrix}
-x^2 - 2x \delta x - (\delta x)^2 + y + \delta y \\
y+\delta y\\
x+\delta x
\end{pmatrix}
- \begin{pmatrix} y-x^2\\y\\x\end{pmatrix}
- \begin{pmatrix} -2x \delta x + \delta y\\\delta y\\\delta x\end{pmatrix}
\\
&\qquad= \begin{pmatrix}
-2\delta x - (\delta x)^2 + \delta y \\
\delta y \\
\delta x
\end{pmatrix}
- \begin{pmatrix} -2x\delta x + \delta y \\ \delta y \\ \delta x\end{pmatrix}
\\
&\qquad= \begin{pmatrix} -(\delta x)^2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{align*}
Betrachtung von beiden f\"uhrt uns nun auf:
\[
\lim_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}
\begin{pmatrix}-\dfrac{(\delta x)^2}{\sqrt{\delta x ^2 + \delta y ^2}} \\0\\0\end{pmatrix}
\]
Da $\lim_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)} 0 = 0$, betrachten wir nur den Grenzwert
der 1. Komponente, bzw. zunächst nur den Zähler $(\delta x)^2$ Stellen wir zuerst fest:
\[
-(\delta x)^2 \le 0 \ge -(\delta y)^2 \Rightarrow -(\delta x)^2 \le ((\delta x)^2 + (\delta y)^2)
\]
Sowie
\[
-((\delta x)^2 + (\delta y)^2) \le -(\delta x)^2
\]
Also
\[
-((\delta x)^2 + (\delta y)^2) \le -(\delta x)^2 \le ((\delta x)^2 + (\delta y)^2)
\]
Daraus folgt für den gesuchten Grenzwert:
\begin{align*}
\lim_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}
\frac{-((\delta x)^2 + (\delta y)^2)}{\sqrt{\delta x ^2 + \delta y ^2}}
&\le
\lim_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}
\frac{-(\delta x)^2}{\sqrt{\delta x ^2 + \delta y ^2}}
\\
&\le
\lim_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}
\frac{((\delta x)^2 + (\delta y)^2)}{\sqrt{\delta x ^2 + \delta y ^2}}
\end{align*}
Durch Anwendung der Potenzregeln folgt:
\begin{align*}
\lim_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}-\sqrt{\delta x ^2 + \delta y ^2}
&\le
\lim_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}\frac{-(\delta x)^2}{\sqrt{\delta x ^2 + \delta y ^2}}
\\
&\le
\lim_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}\sqrt{\delta x ^2 + \delta y ^2}
\end{align*}
Da $(\delta x) ^2$ und $(\delta y) ^2$ beide alleine gegen $0$ gehen muss die Summe der beiden,
und die Wurzel der Summe natürlich auch gegen $0$ gehen. Daraus folgt:
\[
0
\le
\lim_{(\delta x,\delta y) \rightarrow (0,0)}
\frac{-(\delta x)^2}{\sqrt{\delta x ^2 + \delta y ^2}}
\le
0
\]
Der Grenzwert muss somit auch gegen $0$ streben (Sandwich theorem). Somit strebt der
Fehler Vektor schneller als linear gegen $0$, also ist unsere Funktion diff'bar mit der
gegebenen Ableitung.
\end{document}
请注意，\lim\limits在显示数学模式下是多余的，但\lim足够了。在内联数学中最好避免使用它。实际上，在您使用它来陈述一个显而易见的事实的文档中，我会将其删除。
答案2
删除所有\newline和\\。这不是错误，而是警告。始终使用
\[
...
\]
\[
...
\]
或者
\[
...
\]
%
\[
...
\]
\[...\]是一个自己的段落！