参数化图的旋转变换

Question 1

当我看到你的第一张图片时，它立即让我想到了一个圆环；当然，它有点像一个扭曲的圆环，但它确实有很多共同之处。详见如何绘制圆环（例如），可以使用以下方法将圆环参数化为曲面（例如）

x(t,s) = (2+cos(t))*cos(s+pi/2) 
y(t,s) = (2+cos(t))*sin(s+pi/2) 
z(t,s) = sin(t)

其中t和s都位于区间内[0,2\pi]。

那么，我们如何将其应用到您的形状中呢？

让我们首先尝试绘制由以下参数化在三维中给出的曲线：

x(t) = sin(3t)cos(t)
y(t) = sin(3t)sin(t)

稍微思考一下，并应用环面思想，我们就可以发现，在您的示例中，我们可以使用以下内容，例如，

  x(t,s) = (4+(sin(3*(t))+1.25)*cos(t))*cos(s) 
  y(t,s) = (4+(sin(3*(t))+1.25)*cos(t))*sin(s) 
  z(t,s) = ((sin(3*(t))+1.25)*sin(t))

s对于固定值和，得出t\in[0,2\pi]

从这里，我们可以允许s变化 - 例如，如果我们允许s\in[0,\pi]那么我们就可以实现：

这很接近了，但扭曲程度不够——例如，我们可以选择

  x(t,s) = (4+(sin(3*(t+Ns))+1.25)*cos(t))*cos(s) 
  y(t,s) = (4+(sin(3*(t+Ns))+1.25)*cos(t))*sin(s) 
  z(t,s) = ((sin(3*(t+Ns))+1.25)*sin(t))

可以改变数字N来增加/减少“扭曲度”；例如使用N=10相当低的分辨率，然后我们实现：

最后，在内存耗尽之前尽可能地提高分辨率（运行LuaLaTeX确实有帮助 - 感谢 Stefan），然后您会得到以下结果：

例如，可以通过使用来改进shader=interp。以下是完整的代码供您参考 :)

% arara: lualatex
% !arara: indent: {overwrite: yes}
\documentclass[border=10pt]{standalone}
\usepackage{pgfplots}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[
            axis equal,
        ]
        \addplot3[
            surf,
            samples=100, samples y=70,
            colormap/cool,
            domain=0:360,y domain=0:360,
            z buffer=sort,
        ]
        ({(4+(sin(3*(x+2*y))+1.25)*cos(x))*cos(y)},
        {(4+(sin(3*(x+2*y))+1.25)*cos(x))*sin(y)},
        {((sin(3*(x+2*y))+1.25)*sin(x))});
    \end{axis}
\end{tikzpicture}

\end{document}

一旦我们有了模板，我们就可以对其进行更多的操作；例如，将参数化从更改为sin(3(x+2y))并sin(4(x+2y))使用hot2颜色图，如下所示

    \addplot3[
        surf,
        samples=100, samples y=70,
        colormap/hot2,
        domain=0:360,y domain=0:360,
        z buffer=sort,
    ]
    ({(4+(sin(4*(x+2*y))+1.25)*cos(x))*cos(y)},
    {(4+(sin(4*(x+2*y))+1.25)*cos(x))*sin(y)},
    {((sin(4*(x+2*y))+1.25)*sin(x))});

给出了一个令人愉悦的画面，但还有些许曲折：

Answer