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如何使用 Tikz/Pgfplot 绘制黎曼 Zeta 函数？

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如何使用 Tikz/Pgfplot 绘制黎曼 Zeta 函数？

我想绘制 x 实值的黎曼 Zeta 函数。这可能吗？我知道将其纳入其中的可能性很小。

答案1

据我所知，LaTeX 中没有集成 zeta 函数，因此您需要具备 LaTeX 高手的技能水平（以及大量的时间）才能使用纯 LaTeX 完成此操作——它不是完成这项工作的合适工具。有一种更简单的方法：由于 pgfplots 包只需要一个要绘制的坐标列表，因此让计算机代数系统处理计算，然后将它们“粘贴”到需要坐标的位置。可以使用“sagetex”包快速轻松地完成此操作，该包可让您访问计算机代数系统 Sage。由于 Sage 是专门为处理数学而构建的，因此内置支持多种功能，包括 zeta 函数。以下是在 35 行中绘制 zeta 函数的两种方法：

\documentclass{article}
\usepackage{sagetex}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{pgfplots}
\begin{document}
\begin{sagesilent}
t = var('t')
LowerY = -4
UpperY = 5
LowerX = -3
UpperX = 3
step = .01
x_coords = [t for t in srange(LowerX,UpperX,step)]
y_coords = [zeta(t).n(digits=6) for t in srange(LowerX,UpperX,step)]

output = r""
output += r"\begin{tikzpicture}[scale=.7]"
output += r"\begin{axis}[xmin=%f,xmax=%f,ymin= %f,ymax=%f]"%(LowerX,UpperX,LowerY, UpperY)
output += r"\addplot[thin, blue, unbounded coords=jump] coordinates {"
for i in range(0,len(x_coords)-1):
    if (y_coords[i])<LowerY or (y_coords[i])>UpperY:
        output += r"(%f , inf) "%(x_coords[i])
    else:
        output += r"(%f , %f) "%(x_coords[i],y_coords[i])
output += r"};"
output += r"\end{axis}"
output += r"\end{tikzpicture}"
\end{sagesilent}
\begin{center}
\sagestr{output}
\end{center}
\begin{center}
\sageplot[width=6cm]{plot(zeta(x), (x, -3, 3),ymin=-4, ymax=5,detect_poles=True)}
\end{center}
\end{document}

要使用sagetex软件包，您需要在计算机上安装 Sage。最简单的入门方法是使用（免费）萨基马云帐户。在 tikzpicture 环境中调用 Sage 可能会出现问题，就像我在回答中遇到的那样这里，因此最好通过在环境tikzpicture内排版整个文本来避免这种情况sagesilent。代码基于您提供的查看窗口参数：LowerY、UpperY、LowerX、UpperX。x_coords 获取从 -3 到 3 的值，步长为 .01。y_coords 使用 Sage 并计算每个值的 zeta。您只想在窗口中绘制值，因此如果 y 值太大或太小，代码会将 y 值设置为 inf（表示无穷大）。否则，该值在查看窗口中，因此我们创建坐标而不进行调整。选项“unbounded coords=jump”将跳过不连续之处（从而使图形断开连接）。创建图片后，我们使用 \sagestr{output} 将其插入文档中。

如果您不需要 tikz/pgfplots，那么使用 Sage 的绘图功能可以以简单的方式绘制图表：\sageplot[width=6cm]{plot(zeta(x), (x, -3, 3),ymin=-4, ymax=5,detect_poles=True)}

detect_poles=True 告诉 Sage 如果看起来存在不连续性，则不要连接图。将上面的代码复制/粘贴到 Sagemath Cloud 中可获得以下内容： 在此处输入图片描述

因为使用了计算机代数系统，所以将函数从 zeta(x) 更改为其他函数很简单，而且代码仍然可以工作。

答案2

另一种可能性是使用接近 LaTeX 的外部绘图程序/语言，具有足够的计算能力，例如 MetaPost 或 Asymptote。这是我的快速尝试（对于 x>1），使用 MetaPost 和 LuaLaTeX，因为 MetaPost 恰好通过库与 LuaTeX 紧密集成mplib（而且它是我最熟练的语言 ;-)）。

\documentclass[12pt]{scrartcl}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage{luamplib}
\mplibsetformat{metafun}
\mplibnumbersystem{double}
\mplibtextextlabel{enable}
\everymplib{%
verbatimtex
    \leavevmode
etex;
% "Riemann sum" (heavily inspired by Herbert Voss's Lua code)
vardef riemann_sum(expr x, epsilon) =
save k, y, dy; 
    y = 0; k = 1;
    forever:
        dy := 1/(k**x);
        y := y + dy; k := k + 1;
        exitif abs(dy) < epsilon;
    endfor;
    y
enddef;
%
% Riemann curve (also heavily inspired by Herbert's Lua code)
vardef riemann_curve(expr xs, xf, n, epsilon) =
    save k, x, dx;
    dx = (xf-xs)/n;
    (xs, riemann_sum(xs, epsilon))
    for x= xs+dx step dx until xf:
        -- (x, riemann_sum(x, epsilon))
    endfor
enddef;
%
beginfig(1);
}
\everyendmplib{endfig;}
\begin{document}
\begin{center}
\begin{mplibcode}
    % For scaling
    u := 0.8cm; b = 14;
    % Riemann curve between 1.01 and b = 14, with n = 100 and epsilon = 1e-6
    draw riemann_curve(1.01, b, 100, 1e-6) xyscaled u withcolor red;
    % Axes
    drawarrow (origin -- (b, 0)) xscaled u;
    drawarrow (origin -- (0, b)) yscaled u;
    % Marking and labels
    eps := 3bp;
    labeloffset := 6bp;
    for x =  1 upto b-1:
        draw (x*u, -eps)--(x*u, eps); label.bot(textext("$" & decimal(x) & "$"), (x*u, 0));
        draw (-eps, x*u)--(eps, x*u); label.lft(textext("$" & decimal(x) & "$"), (0, x*u));
    endfor;
    label.llft("$O$", origin);
    label.bot("$s$", (b*u, 0));
    label.lft("$\zeta$", (0, b*u));
\end{mplibcode}
\end{center}
\end{document}

在此处输入图片描述

MetaPost 也可以在外部使用，就像 Asymptote 一样。另一种可能性是在 LuaLaTeX 中使用一些 Lua 代码。顺便说一句，我的 MetaPost 程序很大程度上受到了 Herbert Voss 对此问题的回答中的 lua 编码的启发有点接近的主题。

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