在案例环境中左对齐和断开方程式

Question 1

我建议使用mathtools及其dcases和multlined环境。

我提出了两种解决方案；第一种方法避免了公式中的歧义，其中相同的索引既用作边界变量又用作自由变量；第二种方法与您的类似。

我删除了不必要的\left和\right；改成\Bigg和\biggl；\biggr改成\text{ : }简单的冒号；定义\argmin。

\documentclass{article}

\usepackage{amsmath,mathtools}

\newcommand{\diff}{\mathop{}\!d}
\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min}

\begin{document}

\begin{equation}
\begin{dcases}
u_j^{k+1}(x)=
  \!\begin{multlined}[t]
  \argmin_{u}
  \biggl\{
  \frac{\mu}{2}\int\limits_{\Omega} (u_j(x)-m(x))^2\diff x \\
  +\sum_{i=1}^{N}\biggl(
     \lambda\int\limits_{\Omega} r_i(x)u_i(x)\diff x 
     + \frac{\gamma}{2}\int\limits_{\Omega} (u_i(x)-m(x))^2\diff x
   \biggr)
  \biggr\},
  \end{multlined}
\\[1ex]
f'(x_{0})=0 : z=f(x_{0}) \text{ is de horizontale raaklijn.}
\\[1ex]
\lim_{x\to x_{0}} f'(x)=\pm\infty : x=x_{0} \text{ is de verticale raaklijn.}
\\[1ex]
g(x_{0}){R}_{0} : z-f(x_{0})=f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})
  \text{ is de raaklijn.}
\end{dcases}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{dcases}
\!\begin{aligned}[t]
u_j^{k+1}(x)&=
  \argmin_{u}
  \biggl\{
  \lambda\sum_{i=1}^{N}\int_{\Omega} r_i(x)u_i(x)\diff x \\
  &\quad+ \frac{\gamma}{2} \sum_{i=1}^{N}\int_{\Omega} (u_i(x)-m(x))^2\diff x 
  + \frac{\mu}{2}\int_{\Omega} (u_i(x)-m(x))^2\diff x
  \biggr\},
  \end{aligned}
\\[1ex]
f'(x_{0})=0 : z=f(x_{0}) \text{ is de horizontale raaklijn.}
\\[1ex]
\lim_{x\to x_{0}} f'(x)=\pm\infty : x=x_{0} \text{ is de verticale raaklijn.}
\\[1ex]
g(x_{0}){R}_{0} : z-f(x_{0})=f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})
  \text{ is de raaklijn.}
\end{dcases}
\end{equation}

\end{document}

Answer

我建议使用mathtools及其dcases和multlined环境。

我提出了两种解决方案；第一种方法避免了公式中的歧义，其中相同的索引既用作边界变量又用作自由变量；第二种方法与您的类似。

我删除了不必要的\left和\right；改成\Bigg和\biggl；\biggr改成\text{ : }简单的冒号；定义\argmin。

\documentclass{article}

\usepackage{amsmath,mathtools}

\newcommand{\diff}{\mathop{}\!d}
\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min}

\begin{document}

\begin{equation}
\begin{dcases}
u_j^{k+1}(x)=
  \!\begin{multlined}[t]
  \argmin_{u}
  \biggl\{
  \frac{\mu}{2}\int\limits_{\Omega} (u_j(x)-m(x))^2\diff x \\
  +\sum_{i=1}^{N}\biggl(
     \lambda\int\limits_{\Omega} r_i(x)u_i(x)\diff x 
     + \frac{\gamma}{2}\int\limits_{\Omega} (u_i(x)-m(x))^2\diff x
   \biggr)
  \biggr\},
  \end{multlined}
\\[1ex]
f'(x_{0})=0 : z=f(x_{0}) \text{ is de horizontale raaklijn.}
\\[1ex]
\lim_{x\to x_{0}} f'(x)=\pm\infty : x=x_{0} \text{ is de verticale raaklijn.}
\\[1ex]
g(x_{0}){R}_{0} : z-f(x_{0})=f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})
  \text{ is de raaklijn.}
\end{dcases}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{dcases}
\!\begin{aligned}[t]
u_j^{k+1}(x)&=
  \argmin_{u}
  \biggl\{
  \lambda\sum_{i=1}^{N}\int_{\Omega} r_i(x)u_i(x)\diff x \\
  &\quad+ \frac{\gamma}{2} \sum_{i=1}^{N}\int_{\Omega} (u_i(x)-m(x))^2\diff x 
  + \frac{\mu}{2}\int_{\Omega} (u_i(x)-m(x))^2\diff x
  \biggr\},
  \end{aligned}
\\[1ex]
f'(x_{0})=0 : z=f(x_{0}) \text{ is de horizontale raaklijn.}
\\[1ex]
\lim_{x\to x_{0}} f'(x)=\pm\infty : x=x_{0} \text{ is de verticale raaklijn.}
\\[1ex]
g(x_{0}){R}_{0} : z-f(x_{0})=f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})
  \text{ is de raaklijn.}
\end{dcases}
\end{equation}

\end{document}

Question 2

最好手动选择换行的位置：

代码：

\documentclass{article}

\usepackage{amsmath}

\newcommand{\diff}{\mathop{}\!d}
\begin{document}

\begin{equation}\label{eq:algin} 
\begin{cases}
u_i^{k+1}(x) =\arg \min_{u} \Bigg\{
{} \lambda\sum_{i=1}^{N}\int_{\Omega} r_i(x)u_i(x)\diff x \\
\qquad\qquad + \frac{\gamma}{2} \sum_{i=1}^{N}\int_{\Omega} \left( u_i(x)-m(x) \right)^2\diff x 
+ \frac{\mu}{2}\int_{\Omega} \left( u_i(x)-m(x) \right)^2\diff x
\Bigg\},
\\
f'(x_{0})=0 \text{ : } z=f(x_{0}) \text{ is de horizontale raaklijn.}
\\
\lim_{x\to x_{0}} f'(x)=\pm\infty \text{ : } x=x_{0} \text{ is de verticale raaklijn.}
\\
g(x_{0}){R}_{0} \text{ : } z-f(x_{0})=f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})
  \text{ is de raaklijn.}
\end{cases}
\end{equation}
\end{document}

Answer

最好手动选择换行的位置：

代码：

\documentclass{article}

\usepackage{amsmath}

\newcommand{\diff}{\mathop{}\!d}
\begin{document}

\begin{equation}\label{eq:algin} 
\begin{cases}
u_i^{k+1}(x) =\arg \min_{u} \Bigg\{
{} \lambda\sum_{i=1}^{N}\int_{\Omega} r_i(x)u_i(x)\diff x \\
\qquad\qquad + \frac{\gamma}{2} \sum_{i=1}^{N}\int_{\Omega} \left( u_i(x)-m(x) \right)^2\diff x 
+ \frac{\mu}{2}\int_{\Omega} \left( u_i(x)-m(x) \right)^2\diff x
\Bigg\},
\\
f'(x_{0})=0 \text{ : } z=f(x_{0}) \text{ is de horizontale raaklijn.}
\\
\lim_{x\to x_{0}} f'(x)=\pm\infty \text{ : } x=x_{0} \text{ is de verticale raaklijn.}
\\
g(x_{0}){R}_{0} \text{ : } z-f(x_{0})=f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})
  \text{ is de raaklijn.}
\end{cases}
\end{equation}
\end{document}

Question 3

我不会使用cases环境；left\{在环境开头和\right.结尾各使用一个指令equation需要的计算开销要少得多。在\left\{ ... \right.对中，我会使用嵌套aligned指令。环境的内容aligned会自动排版为显示数学样式，这似乎适合长（子）方程。

顺便说一句，代码中的内部\left( ... \right)指令不会生成更大的“围栏”，因为它们封闭的材料并不“大”。我会改用\bigl( ... \bigr)。

（以下屏幕截图顶部的水平线只是为了说明文本块的宽度。）

\documentclass{article}
\usepackage[dutch]{babel}
\usepackage{mathtools} % for '\mathclap' macro
\newcommand{\diff}{\mathop{}\!d}

\begin{document}
\hrule  % just to illustrate width of textblock
\begin{equation}\label{eq:algin} 
\left\{
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
u_i^{k+1}(x)
&=\arg\min_{u} \Biggl\{
\lambda\sum_{i=1}^{N}\int_{\Omega}\! r_i(x)u_i(x)\diff x \\
&\mkern25mu % select spacing adjustment to suit your page parameters
+ \frac{\gamma}{2} \sum_{i=1}^{N}\int_{\Omega}\! \bigl( u_i(x)-m(x) \bigr)^2\diff x 
+ \frac{\mu}{2}\int_{\Omega}\! \bigl( u_i(x)-m(x) \bigr)^2\diff x
\Biggr\},
\end{aligned}\\
&f'(x_{0})=0 \text{ : $z=f(x_{0})$ is de horizontale raaklijn.}\\
&\lim_{\mathclap{x\to x_{0}}} \ f'(x)=\pm\infty \text{ : $x=x_{0}$ is de verticale raaklijn.}\\
&g(x_{0}){R}_{0} \text{ : $z-f(x_{0})=f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})$ is de raaklijn.}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\end{document}

附录回答 OP 的后续问题，即如何将方程编号放在方程的底部：在这种情况下，我首先要努力缩短环境中的一条或多条线。例如，可以通过重新排列控制前两条线dcases的环境结构来实现。multlined

在此过程中，您可能还想确保前两行的分子和分母中的材料是以显示样式数学模式排版的，而不是默认的文本样式数学模式。

\documentclass{article}
\usepackage{mathtools}  % for 'dcases' and 'multlined' environments
\newcommand{\diff}{\mathop{}\!d}
% Variant form of \dfrac macro, which places both the numerator
% and the denominator in display math style
\newcommand\ddfrac[2]{\dfrac{\displaystyle#1}{\displaystyle#2}}
\begin{document}

\begin{equation}
\begin{dcases}
\begin{multlined} % let the 'multlined' environment encase both lines fully
u_i^{k+1}(x)
=\ddfrac{-\lambda r_i(x)+\gamma \bigl( r_i(x)+b_i(x)\bigr) +\gamma \bigl( \alpha-\beta\bigr)}{\theta}\\[2ex]
 -\ddfrac{\sigma \biggl[ -\lambda\int_{i=1}^N r_i(x) \diff x + \sigma\sum_{i=1}^N \bigl( r_i(x)-b_i(x)\bigr) +\gamma N \bigl( 1-r_i(x)\bigr)\biggr]}{\gamma\bigl( \sigma N -1\bigr)}\,,
\end{multlined}
\\[1ex]
f'(x_{0})=0 : z=f(x_{0}) \text{ is de horizontale raaklijn,}
\\[1ex]
\lim_{x\to x_{0}} f'(x)=\pm\infty : x=x_{0} \text{ is de verticale raaklijn,}
\\[0.5ex]
g(x_{0}){R}_{0} : z-f(x_{0})=f'(x_{0})\cdot(x-x_{0})
  \text{ is de raaklijn.}
\end{dcases}
\end{equation}
This is text \dots
\end{document}

Answer