我目前正在处理一些相当大的矩阵，想知道如何更好地格式化它们，使我的最终证明看起来不那么草率。我可以使用哪些格式化技术来更好地呈现这些矩阵？
\documentclass[reqno]{amsart}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}
\item
\begin{proof}
\begin{align*} A^n\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}&=P\begin{pmatrix}
\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n
\end{pmatrix}P^{-1}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
F_{n+1} \\ F_n
\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}
\frac{1+\sqrt{5}}{2} & \frac{1-\sqrt{5}}{2} \\[4pt] 1 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n & 0 \\[4pt] 0 & \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n
\end{pmatrix}P^{-1}\begin{pmatrix} 1 \\[4pt] 0 \end{pmatrix} \\
&=\left(\frac{1}{10}\right)\begin{pmatrix}
\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} & \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} \\ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n & \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2\sqrt{5} & 5-\sqrt{5} \\[4pt]-2\sqrt{5} & 5+\sqrt{5}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix} \\
&=\left(\frac{1}{10}\right)\begin{pmatrix} 2\sqrt{5}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-2\sqrt{5}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} & (5-\sqrt{5})\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}+(5+\sqrt{5})\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} \\ 2\sqrt{5}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-2\sqrt{5}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & (5-\sqrt{5})\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+(5+\sqrt{5})\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
F_{n+1} \\ F_n
\end{pmatrix}&=\left(\frac{1}{10}\right)\begin{pmatrix}
2\sqrt{5}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-2\sqrt{5}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} \\ 2\sqrt{5}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-2\sqrt{5}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n
\end{pmatrix}
\end{align*}
We see that $F_n$ must equal the bottom entry in this matrix. $$F_n=\frac{1}{10}\left(2\sqrt{5}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-2\sqrt{5}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right)$$ Which simplifies to $$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right]$$.
\end{proof}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
答案1
一个技巧是用更简单的物体代替复杂的物体。
\documentclass[reqno]{amsart}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\newcommand{\fib}{\varphi} % Fibonacci constant
\newcommand{\fibc}{\bar\varphi} % conjugate
\begin{document}
\begin{proof}
Set $\fib=(1+\sqrt{5})/2$ and $\fibc=(1-\sqrt{5})/2$. Then
\begin{align*}
A^n\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
&=P\begin{pmatrix}\fib^n & 0 \\ 0 & \fibc^n \end{pmatrix}P^{-1}
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\\[2ex]
\begin{pmatrix}
F_{n+1} \\ F_n
\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix} \fib & \fibc \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \fib^n & 0 \\ 0 & \fibc^n \end{pmatrix}P^{-1}
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\\[1ex]
&=\frac{1}{10}
\begin{pmatrix} \fib^{n+1} & \fibc^{n+1} \\ \fib^n & \fibc^n \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2\sqrt{5} & 5-\sqrt{5} \\ -2\sqrt{5} & 5+\sqrt{5} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\\[1ex]
&=\frac{1}{10}
\begin{pmatrix}
2\sqrt{5}\,\fib^{n+1}-2\sqrt{5}\,\fibc^{n+1} & (5-\sqrt{5})\fib^{n+1}+(5+\sqrt{5})\fib^{n+1}
\\[1ex]
2\sqrt{5}\,\fib^n-2\sqrt{5}\,\fibc^n & (5-\sqrt{5})\fib^n+(5+\sqrt{5})\fib^n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\[1ex] 0 \end{pmatrix}
\\[2ex]
\begin{pmatrix} F_{n+1} \\[1ex] F_n \end{pmatrix}
&=\frac{1}{10}
\begin{pmatrix}
2\sqrt{5}\,\fib^{n+1}-2\sqrt{5}\,\fibc^{n+1} \\[1ex]
2\sqrt{5}\,\fib^n-2\sqrt{5}\,\fibc^n
\end{pmatrix}
\end{align*}
We see that $F_n$ must equal the bottom entry in this matrix, so
\[
F_n=\frac{1}{10}\bigl(2\sqrt{5}\,\fib^n-2\sqrt{5}\,\fibc^n\bigr)
\]
which simplifies to
\[
F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right].
\qedhere
\]
\end{proof}
\end{document}
我只在选定的矩阵中增加了行距。1/10 分数周围的括号具有误导性且不必要。还请注意，\,已在平方根和 phi 之间插入。
请注意，$$永远不要在 LaTeX 中使用（而且我真的意思是这样的。
