\paragraph{*}
So we have that: $$|f_n(x)g_n(x)-f_n(x)g(x) + f_n(x)g(x) - f(x)g(x)|$$
$$\le |f_n(x)g_n(x)-f_n(x)g(x)|+|f_n(x)g(x)-f(x)g(x)|$$
$$=|f_n(x)||g_n(x)-g(x)|+|g(x)||f_n(x)-f(x)|$$
$$\le M_1\epsilon+M_2\epsilon$$
$$=\epsilon(M_1+M_2) \longrightarrow 0$$ as $n\longrightarrow \infty$.
基本上，我想让“当 n 趋向于无穷大时”与趋向于 0 部分出现在同一行。我该怎么做？
答案1
您的问题是$$ ... $$会将您置于 displaymath 模式。这是为了显示数学。当您将数学括在 中时$$ ... $$，它将放在新行上，显示的数学和上面的行之间会有一点跳跃。然后，结尾之外的所有内容$$都会放在新行上，显示的数学和下面的行之间会有相同的小跳跃。数学也居中。这至少是默认行为。
你要做的是离开显示数学模式，然后添加as $n\longleftarrow\infty$。正如我上面所解释的，这放在新行上。你要做的是留在数学模式：
\[=\epsilon(M_1+M_2) \longrightarrow 0 \text{ as } n\longrightarrow \infty\]
实际上，有几种方法可以在数学模式中包含文本。我喜欢使用\text{...}，但是，正如@Werner 指出的那样，这需要您加载amsmath包。\mbox{...}是一种同样有效的替代方法。
我也会推荐\to，但这是一个选择的问题\longrightarrow。n \to \infty
其他新闻：你应该\[ ... \]使用$$ ... $$，正如我上面所说的。单击链接可了解原因。
然而尽管如此，这并不是使用显示数学环境的最佳方式。也许可以考虑这样做：
\documentclass[12pt]{article}
\pagestyle{plain}
\usepackage[margin=1.8cm]{geometry}
\geometry{a4paper}
\usepackage[parfill]{parskip}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\[
\begin{aligned}
|f_{n}&(x)g_{n}(x) - f_{n}(x)g(x) + f_{n}(x)g(x) - f(x)g(x)| \\
&\leq |f_{n}(x)g_{n}(x) - f_{n}(x)g(x)| + |f_{n}(x)g(x) -
f(x)g(x)| \\
&= |f_{n}(x)||g_{n}(x) - g(x)| + |g(x)||f_{n}(x) - f(x)| \\
&\leq M_{1}\epsilon + M_{2}\epsilon \\
&= \epsilon(M_1+M_2) \longrightarrow 0 \text{ as } n \to \infty
\end{aligned}
\]
\end{document}
编辑：
或者更好的是，我强烈推荐这里我的后续问题的解决方案：