绘制动画扭曲网格

Question 1

以下是使用 LuaLaTeX 的解决方案，原因有二：

这个图中有很多复杂的公式，所以用真正的编程语言来解释会更容易
有大量的三角函数计算，Lua 比 TeX 更快

LaTeX 文件：

\documentclass{minimal}

\usepackage[a4paper,top=20mm,bottom=20mm,left=15mm,right=15mm]{geometry}
\usepackage{tikz}
\usepackage{animate}

\begin{document}

\directlua{require("anim.lua");}
\begin{center}
    \begin{animateinline}[poster=first,controls,loop]{20}
        \multiframe{20}{rt=0+0.05}{
            \begin{tikzpicture}
                \useasboundingbox (-8.5,-5.4) rectangle (8.5,3.1);
                \directlua{plot_grid(8,4,0.3,\rt);}
            \end{tikzpicture}
        }
    \end{animateinline}
\end{center}


\end{document}

文件anim.lua（在同一目录中）：

ak,bk,omegak={0.6,0.8},{10,20},{2*math.pi,4*math.pi} -- list of coefs
zmax=2
function wave(r,theta,t)
    sum=0
    for k=1,#ak do
        sum=sum+math.exp(-ak[k]*r)*math.cos(bk[k]*r-omegak[k]*t)*r^k
    end
    return sum*math.sin(theta)
end
function color(z) -- color of facets
    if z>0 then if z<zmax then col="red!"..(100*z/zmax); else col="red"; end -- red color for positive wave values
    else if z>-zmax then col="blue!"..(-100*z/zmax); else col="blue"; end -- blue color for positive wave values
    end
    return col
end
function plot_grid(width,height,shrink,t)
    local gridx,gridy={},{}
    local Nr,Nt=20,10
    local zscale=1
    for i=0,Nr do
        local r=i/Nr
        gridx[i]={}
        gridy[i]={}
        for j=-Nt,Nt do
            local theta=math.pi*j/Nt
            local z=wave(r,theta,t)
            local factor=1-shrink*math.cos(theta)
            local x=r*width*factor*math.sin(theta)
            local y=r*height*factor*math.cos(theta)+z*zscale*factor
            gridx[i][j]=x
            gridy[i][j]=y
        end
    end

    -- grid faces, from top to bottom
    for j=0,Nt-1 do
        local theta=math.pi*j/Nt
        local start,stop,step=0,Nr-1,1
        if theta<math.pi/2 then start,stop,step=Nr-1,0,-1; end
        for i=start,stop,step do
            local r=i/Nr
            -- print facet at (r,theta)
            tex.print("\\filldraw[fill="..color(wave(r,theta,t)).."] ("..gridx[i][j]..","..gridy[i][j]..") -- ("..gridx[i+1][j]..","..gridy[i+1][j]..") -- ("..gridx[i+1][j+1]..","..gridy[i+1][j+1]..") -- ("..gridx[i][j+1]..","..gridy[i][j+1]..") -- cycle;")
            -- print facet at (r,-theta)
            tex.print("\\filldraw[fill="..color(wave(r,-theta,t)).."] ("..gridx[i][-j]..","..gridy[i][-j]..") -- ("..gridx[i+1][-j]..","..gridy[i+1][-j]..") -- ("..gridx[i+1][-j-1]..","..gridy[i+1][-j-1]..") -- ("..gridx[i][-j-1]..","..gridy[i][-j-1]..") -- cycle;")

        end
    end
end

你可以用它编译两次lualatex，然后用 Acrobat Reader（唯一一个显示动画的阅读器）打开它。结果是：

解释：

首先，简单介绍一下 LuaLaTeX。它就像另一个 LaTeX 引擎，但您可以在其中添加 Lua 代码。Lua 是一种简单的脚本语言，具有与其他语言一样的函数、循环和条件语句。Lua 块例如包含在directlua{...}语句中。当 LuaLaTeX 编译文件时，它们directlua{...} 会被执行并替换为其输出；即 LaTeX 代码；例如，这里的行\directlua{plot_grid(8,4,0.3,\rt);}被替换为

\filldraw[fill=blue!-0] (0,2.66) -- (0,2.8) -- (-1.7667936522486,2.8044534789179) -- (-1.6784539696362,2.6194714601329) -- cycle;
\filldraw[fill=blue!0] (0,2.52) -- (0,2.66) -- (1.6784539696362,2.5462786901229) -- (1.5901142870238,2.3797166001964) -- cycle;
\filldraw[fill=blue!-0] (0,2.52) -- (0,2.66) -- (-1.6784539696362,2.6194714601329) -- (-1.5901142870238,2.5141519632038) -- cycle;
....

即 Tikz 命令。然后生成一个纯 LaTeX 文档，并编译为另一个 LaTeX 文档。

总结一下：LuaLaTeX 文档是普通的 LaTeX 文档，但是包含一些 Lua 块，可以代替您生成许多 LaTeX 代码。

然后关于文件，从 LaTeX 开始：它非常简单；\animateinline定义一个有 20 帧和循环的动画，并以 0.05 的步长从 0 开始\multiframe迭代时间（实数变量\rt），并执行 20 次，因此将具有值：0,0.05,0.10，...，0.95。然后我们定义一个带有边界框的 tikzpicture（感谢 AlexG）并调用将生成所有图形的\rtLua函数。plot_grid

该anim.lua文件以全局变量定义开始：3 个系数数组，对应于您为波提出的总和。您可以添加更多系数，但 3 个数组必须具有相同的长度。然后zmax是着色，我们将进一步了解。

函数wave用于计算r,θ坐标和吨时间。它使用系数计算总和（我认为这部分在纯 LaTeX 中很难）并返回结果。

函数color用于对面进行着色，我们稍后会用到它。如果最大颜色是红色；如果0 < z < zmax颜色部分为红色；对于负值，颜色也为蓝色。

函数plot_grid有两个部分。首先，它计算网格每个节点的坐标。它创建两个空数组，并定义点的数量Nr和Nt。在循环中，你可以看到r将从 0 变为 1，编号区间，theta从 -π 到 +π2 新台币间隔。然后对于每个（r，θ）配对过程如下：

计算透视因子。通常网格会从-width到+width和-height到进行显示+height。但在你的问题中你想要一些透视，即顶部的网格小于底部的网格。在这里我引入参数shrink具有以下含义的参数：在顶部，网格大小乘以1-收缩在底部它乘以1+收缩。
计算X和是位置。该因子用于乘以网格的宽度和高度，以及是我们将波的振幅（z）乘以一个您可以修改的比例因子。
将结果存储在数组中

完成后，我们可以从上到下绘制面，因为这是透视图。这是第二个循环。我们从接近 0 的 θ 开始，这是较远的面。这些start,stop,step线也用于透视：如果 -π/2<θ<π/2，那么我们应该先绘制大半径并转到中心，在其他情况下，我们应该从中心转到边界。然后是核心：tex.print允许打印将在 LaTeX 文档中替换的输出。这是一个简单的\filldrawTikz 命令；字符串连接..在 Lua 中。您还可以注意到我们同时绘制 (r,θ) 和 (r,-θ) 面。

总结：第一次尝试 LuaLaTeX 时我很害怕，但从那时起，我就开始喜欢它了。当你做科学图表或模拟时，它真的很有用。在我的 LaTeX 文档中使用 Lua，我可以绘制复杂的图、绘制隐式图、求解 ODE、积分函数，然后在我的 LaTeX 文档中进行整个模拟。学习一门新的（简单的）编程语言是必要的，但 Lua+LaTeX 的威力是惊人的！

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