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好的,我找到了错误的部分,也许有人可以帮我纠正:
$\alpha - \beta x \begin{cases} >0, & \text{0<x<\frac{\alpha}{\beta}\\ =0 & \text{x=0 \lor x=\frac{\alpha}{\beta}\\ <0,x> \frac{\alpha}{\beta}}$`
enter code here\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\paragraph{Vorlesung Gewöhnliche Differentialgleichungen WS 16/17}
\paragraph{§1 Problemstellung und Grundbegriffe}
\paragraph{1.1 Einige klassische Beispiele}
\paragraph{Beispiel 1.1 (Radioaktiver Zerfall)}
Betrachte eine radioaktive Substanz.
Sei $x(t)$ die zur Zeit $t$ vorhandene Masse.
Dann ist $x'(t)=\dot x(t)=lim_{\Delta t \to 0} (\frac{\Delta(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t})$
ist die Zerfallsrate (Veränderung) zur Zeit $t$.
Die zeitliche Entwicklung wird beschrieben durch $x'(t)=-\alpha x(t)$ für ein geeignetes $\alpha>0$.
Alle Lösungen haben die Gestalt $x(t)=c \cdot e^{-\alpha \cdot t}$ mit einer Konstanten $c>0$.
$\newline$
Zum Beispiel:
$x'(t)=-\alpha \cdot c \cdot e^{-\alpha t} $
$<=> -\alpha \cdot x(t) = -\alpha \cdot c \cdot e^{-\alpha t}$
$\newline$
Sei $\tau$ ein fester Zeitpunkt und $\xi$ gegeben. Oft sucht man Lösungen der DGL, welche zusätzlich $x(t)=\xi$ erfüllen.
Dies führt auf $x(t)=\xi \cdot e^{-\alpha (t-\tau)}$,also $c=\xi \cdot e^{\alpha \tau}$.
$\newline$
Beispiel 1.2 (erzwungene Schwingungen)
Sei $x=x(t)$ die Abweichung der Höhe des Gewichts mit der Masse $m$ von der Ruhelage. Die erste Ableitung $x'(t)$ ist die Geschwindigkeit zur Zeit $t$, die zweite Ableitung $x''(t)$ ist die Beschleunigung. Newtonsches Kraftgesetz:
"Kraft = Masse $\cdot$ Beschleunigung"
$m \cdot x''(t)=-Dx(t)+A \cdot sin(\omega \cdot t), D>0$ Federkonstante, $A>0$ Amplitude, $\omega>0$ Frequenz der äußeren Anregung , $\omega_0=\sqrt{(\frac{D}{m})},a=\frac{A}{m} \Rightarrow x''=-\omega_0^2\cdot x+ \cdot sin(\omega t)$
1.Fall:
$\omega_0 \neq \omega:$
Jede Lösung hat die Form $x(t)=\frac{a \cdot sin(\omega t)}{\omega_0^2 - \omega^2}+b \cdot sin(\omega_0 t -\varphi)$ mit $b,\varphi \in \Bbb R$.
Insbesondere gilt: $sup_{t\in \Bbb R}|x(t)|< \infty$,d.h die Lösung ist beschränkt.
2.Fall:$\omega_0 = \omega:$ "Resonanzkatastrophe":
Die Lösung ist komplizierter und für $t \to \frac{+}{-} \infty$ unbeschränkt.
Beispiel 1.3:(Populationswachstum):
Es sei $x=x(t)$ die Größe einer Population zur Zeit $t$ und $x'(t)$ deren Änderungsrate.
Die sogenannte logistische Gleichung ist $x'(t)=\alpha x(t)-\beta x(t)^2, \alpha,\beta>0$, wobei $\alpha$ die Vermehrungsrate und $\beta x(t)^2$ "soziale Reibung"
$x'=(\alpha-\beta x)x ,x>0$
%$\alpha - \beta x \begin{cases} >0, & \text{0<x<\frac{\alpha}{\beta}\\ =0 & \text{x=0 \lor x=\frac{\alpha}{\beta}\\ <0,x> \frac{\alpha}{\beta}}$
man zeigt : $x(0)>0 \Rightarrow lim_{t \to \infty}x(t)=\frac{\alpha}{\beta}$
$\newline$
Beispiel 1.4:(Planetenbewegungen)
Betrachtet werden zwei Himmelskörper mit den Massen $m>0$ und $M>0$, wobei $M>>m$,z.B. ein Planet und eine Sonne, welche wir ins Zentrum $0 \in \Bbb R^3 \setminus\{0\}$ die Position des Planeten relativ zur Sonne.
Dann sind $\dot x(t)\in \Bbb R^3$ die Geschwindigkeit, sowie $\ddot{x(t)}\in \Bbb R^3$ die Beschleunigung.
Das Newton'sche Gravitationsgesetz sagt:
$m\ddot{x(t)}=-\gamma Mm\frac{x(t)}{||x(t)||^3}$
$\newline$
\paragraph{1.2 Allgemeines}
Man beschäftigt sich mit Gleichungen der Form $F(t,x,x',x'',....,x^{(n)})=0 (*)$ mit $n\in \Bbb N$ ("Ordnung") und einer Funktion $F:\Omega \to \Bbb R^m$ auf einem gewissen Defintionsbereich $\Omega \subset \Bbb R x \Bbb R^{N(n+1)}$ mit $t\in \Bbb R, x\in \Bbb R^N$
Für $M=1$ heißt $(*)$ eine implizite DGL n-ter Ordnung,für $M\ge 2$ spricht man von einem System
$$\begin{cases}
F_1(t,x,x',x'',......,x^{(n)})=0 \\ \vdots \\F_m(t,x,x',x'',......,x^{(n)})=0
\end{cases}$$
$\newline$
Beispiel 1.5:
$M=3,N=4,n=4
e^{x_1''+cos(x_2)}=\frac{x_2''''}{1+x_1^2+x_2^2}, x_1'''=12(x_2'')^2
sin(x_1+x_2+x_1'+x_2''+x_3+x_4')=0$
$\newline$
Bemerkung 1.6:
Die Klasse der impliziten Differentialgleichungen ist sehr groß, i.A. werden diese eine Lösung haben, wie in Beispiel $sin(x(t)+x'(t))=2$.
Wir beschäftigen uns deswegen mit expliziten Differentialgleichungen der Form $x^{(n)}=f(t,x,x',x'',...,x^{(n-1)})(**)$
$\newline$
Satz 1.7:
Jedes explizite DGL-System n-ter Ordnung ist äquivalent zu einem expliziten DGL-System erster Ordnung.
Genauer:
(a)Ist $x:I \to \Bbb R^N$ eine Lösung von $(**)$, so ist die Funktion $z:I \to \Bbb R^{Nn},z(t)=(x(t),x'(t),....,x^{(n-1)(t)})$ ist die Lösung von $z'=g(t,z) (***)$ mit $g:G \to \Bbb R^{Nn}$
definiert durch $g(t,z)=(z_2,....,z_n,f(t,z))$ für ein geeignetes $G \subset \Bbb R x \Bbb R^{Nn}$ und $z=(z_1,...,z_n)\in \Bbb R^{Nn}$
(b) Ist umgekehrt $z:I \to \Bbb R^{Nn}$ eine Lösung von $z'=g(t,z), so ist x:I \to \Bbb R^N, x(t)=z_1(t)$ Lösung von (**).
$\newline$
Beweis:
(a)$z'(t)=(x'(t),x''(t),.....,x^{(n)(t)}) =(z_2(t),....,f(t,z(t)))=g(t,z(t))$ für $t\in I$
$\newline$
(b) $z$ ist Lösung
$\Rightarrow (z_1'(t),z_2'(t),....,z_n'(t))=z'(t)=g(t,z(t))=(z_2(t),z_3(t),...,f(t,z(t))$
$$\begin{cases}
z_1'(t)=z_2(t) \\z_2'(t)=z_3(t) \\ \vdots \\z_n(t)=?
\end{cases}$$
$x(t)=z_1(t) \Rightarrow x^{(n)}(t)=z_1^{(n)(t)=z_2^{(n-1)}(t)=z_3^{(n-2)}(t)=....=z_n'(t)=f(t,z(t))=f(t,x(t),x'(t),.....,x^{(n-1)}(t))}$ qed
$\newline$
Beispiel 1.8:
$x''=-\omega^2x-6x'+x^3+sin(t)
f(t,x,x')=-\omega^2x-6x'+x^3+sin(t)$
$\newline$
Setze $v=x', z=(x,x')=(x,v)$
Es ergibt sich: $z'=g(t,z)=g(t,x,v)=(v,f(t,x,v))$
$\newline$
$v=x'
v'=x''=-\omega^2x-6x'+x^3+sin(t)$
$\newline$
$\binom{x}{v}'=\binom{v}{-\omega^2x-6x'+x^3+sin(t)}=g(t,\binom{x}{v})$
$\newline$
Bemerkung 1.9:
Folgende Verallgemeinerungen sind wichtig:
(a)man könnte $z\in\Bbb C$ oder $t\in \{a+ib: a\in\Bbb R, \-epsilon < b < \epsilon\}$ betrachten und kommt zu analytischen Differentialgleichungen.
(b)partielle DGLen: $t\leftarrow$ eine Variable bei gewöhnliche DGLen, partielle DGLen sind Beziehungen zwischen den Ableitungen einer Funktion mehrerer Veränderlicher:
$(i)\Delta u(x)=0$ für $u=u(x_1,....,x_n),\Delta u(x)=\sum_{j=1}^n \frac{(\partial^2u)}{\partial x_j^2}(x)$(Laplace-Operator)
$(ii)u_{zz}(t,x)-\partial u(t,x)=0$ für $u=u(t,x_1,....,x_n)\in \Bbb R$
$u_{zz}=\frac{(\partial^2u)}{\partial t^2}$ Wellen-Gleichung
$(iii)u_{zz}+/- \partial(t,x)=0$ Schrödinger-Gleichung
$\newline$
Definition 1.10:
Sei $x'=f(t,x)$ ein DGL-System erster Ordnung mit einer Funktion $f:G \to \Bbb R^N$ und seien $(\tau,\xi)\in G$. Unter einer Lösung eines Anfangswertproblems (AWP) versteht man eine Funktion $x:I \to \Bbb R^N$ mit den folgenden Eigenschaften:
(a)$I \subset \Bbb R$ ist ein (nicht-einpunktiges)Intervall $\tau \in I$
(b)$x:I \to \Bbb R$ ist differenzierbar mit $(t,x(t))\in G \forall t\in I$ sowie $x'(t)=f(t,x(t)) \forall t \in I$
(c)$x(t)=\xi$
Ist $\sim x:\sim I \to \Bbb R^N$ eine weitere Lösung mit $I \subset \sim I$ und $\sim x|_I=x$, so heißt $\sim x$ eine Fortsetzung von x.
Besitzt x keine echte Fortsetzung, so heißt x nicht fortsetzbar oder maximal, und I heißt dann maximales Existenzintervall für das AWP.
$\newline$
Beispiel 1.11:
$x'=-x^2, x(t)=\xi$; hier ist $N=1, f(t,x)=-x^2, G=\Bbb R^2$
$1.Fall: \xi=0 \leftarrow x:(\tau-\frac{1}{\xi},\infty) \to \Bbb R,x(t)=(t-\tau+\frac{1}{\xi})^{-1}$ ist Lösung des AWPs:$x(\tau)=\xi, x'(t)=-()^2=-x^2(t)$
Diese Lösung ist nicht fortsetzbar, also maximal.
$2.Fall: \xi=0 \leftarrow x(t)=0 \forall t\in \Bbb R$ ist die maximale Lösung.
$3.Fall: \xi<0 \leftarrow x:(-\infty,\tau+\frac{1}{|\xi|})\to \Bbb R, x(t)=(t-\tau-\frac{1}{|\xi|})$ ist die nicht-fortsetzbare, also maximale Lösung.
$\newline$
\paragraph{§1.3 Geomtreische Veranschaulichung von DGLen}
$\newline$
Betrachte die skalare DGL $x'=f(t,x)$, also $N=1$ und $G \subset \Bbb R x \Bbb R$ im Punkt $(t,x)$zeichnen wir eine kurze Strecke mit Steigung $f(t,x)$.
Dann heißt $(t,x,f(t,x))$ ein Linienelement im Punkt $(t,x)$.
Die Gesamtheit dieser Linearelemente heißt Richtungsfeld. Die Lösung der DGL ist dann eine Funktion, der Graph der Richtungsfeld folgt,d.h. die Linearelemente sind Tangenten des Graphen.
$\newline$
ZEICHNUNG
$\newline$
Hilfe beim Zeichnen von Richtungsfeldern bilden die sogenannte Isolation,d.h. die Linien gleicher Stteigung $\{(t,x)\in G:f(t,x)=c, fest\}$
$\newline$
Beispiel:
$x'=tx$, also $N=1;G=\Bbb R^2,f(t,x)=tx,
c=0. t=0 $oder $x=0$,d.h. die Achsen
$c\neq 0:$ Hyperbeln
$\newline$
Defition 1.14:
Sei $U \subset \Bbb R^N$ und $f:U \to \Bbb R^N$ eine Funktion.
Dann heißt $x'=f(x)$ eine autonome DGL, (d.h. $G=\Bbb R x U$)
Die Funktion $f$ heißt dann ein Vektorfeld.
$\newline$
Beispiel 1.15:
(a)
(b)
(c)
$\newline$$
$\paragraph{§2 Spezielle Lösungsmethoden}
$\newline$
2.1 Die lineare DGL x'+x g(t) = h(t)
$\newline$
Sei $I \subset \Bbb R$ ein Intervall und seien $g,l:I \to \Bbb R$ stetig.
Der Name "Linear" erklärt sich wie folgt:
Seien $x,y$ Lösungen, $\lambda \in \Bbb R ,n=0 \leftarrow x+ \lambda y$ ist Lösung, wegen
$(x+\lambda y)'+g(t)(x+\lambda y)=x'+x g(t)+\lambda (y'+g(t)y)=0+0=0$
Als Kontrast: $x'+g(t)x^2=0$ ist nicht-linear.
$\newline$
$I$ Der Spezialfall $x'=h(t)$
Satz 2.1:
Sei $h:I \to \Bbb R$ stetig, $\tau \in I$. Die DGL $x'=h(t)$ hat die allgemeine Lösung $x(t)=\int_\tau^t h(s) ds + c, t\in I, c\in \Bbb R$.
D.h. alle diese Funktionen sind Lösungen und es gibt keine weiteren Lösungen.
Für $\xi \in \Bbb R$ hat das AWP mit $x(\tau)=\xi$ die eindeutige Lösung $x(t)=\int_\tau^t h(s) ds + \xi$.
$\newline$
Beweis:
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung qed
$\newline$
Beispiel:
$x'=t^2, x(0)=4 \leftarrow x(t)=\frac{t^3}{3}+4$
$\newline$
$II$ Die homogene lineare DGL $x'+g(t)x=0$
Sei $g:I \to \Bbb R$ stetig und $x:J \to \Bbb R$ eine Lösung mit $J \subset I$
1.Fall: $x(t)>0 \forall t\in J:$
Dann gilt: $\frac{x'(t)}{x(t)}=-g(t)$
$\leftarrow ln(x(t))'=-g(t) \forall t\in J$
Sei $G$ eine beliebige Stammfunktion von $g$
$\leftarrow ln(x(t))=-G(t)+c_* $ mit einer beliebigen Konstanten $c_* \in \Bbb R$
$\leftarrow x(t)=e^{-G(t)}e^{c_*}$
$\leftarrow x(t)= c e^{-G(t)} \forall t \in J$ mit $c>0$
$\newline$
2.Fall: $x(t)<0 \forall t\in J:$
Dann ist $-x$ Lösung von $x'+xg(t)=0$ und $-x(t)>0 \forall t\in J$
$\leftarrow x(t)=c e^{-G(t)} \forall t \in J $ mit $c<0$
$\newline$
3.Fall: $\exists s \in J : x(s)=0.$
Dann gilt aber $x(t)=0 \forall t \in J$
(andernfalls gäbe es ein Intervall $[a,b]\subset J$,s.d. $x>0$ auf $[a,b]$ gilt, sowie $x(a)=0$ oder $x(b)=0$.
$O.E. x>0 in [a,b]$
3.1Fall:
$\leftarrow x(t)=ce^{-G(t)} \forall t \in (a,b), x stetig$
$\leftarrow x(t)=ce^{-G(t)} \forall t\in [a,b] und x(a)=0 oder x(b)=0)$
$\newline$
\end{document}
答案1
正如@gernot 在另一个问题中告诉我的那样:我们也必须遵守美学。因此我给出了答案,而不仅仅是评论。
您使用的是冠词。最高级别的分段命令是\section
命令,而最低级别的分段命令是˚\subparagraph . You are starting your document with
\paragraph`。您自己插入分段编号,例如
\begin{document}
\paragraph{Vorlesung Gewöhnliche Differentialgleichungen WS 16/17}
\paragraph{§1 Problemstellung und Grundbegriffe}
\paragraph{1.1 Einige klassische Beispiele}
\paragraph{Beispiel 1.1 (Radioaktiver Zerfall)}
(摘自您的文档!)
如您所见:您正在将段落用作标题、部分和额外示例部分。我想说:您误用了此命令。(抱歉,不想冒犯您,请将其视为建议,而不是侮辱!)
使用时看不到章节编号这一事实\parapgraph
很容易解释。单词或数字越长,人类的大脑就越容易忘记。因此,章节编号只会显示到定义的级别。在文章类中应该是\subsubsection
。(目录也是如此。)您可以在 LaTeX 中轻松更改该行为。
请在您的文档中正确使用分段命令,并使其符合逻辑。
接下来,您通常必须使用\S
来获取§符号。
编辑:这是一个缩短的 MWE,您应该如何编写文档。
从我所看到的情况来看,我来提出以下几点:如果你真的需要在这个冬季学期讲课,你最好使用现有的脚本,而不是重新发明轮子。一份好的讲义需要大量的时间。不要低估这一点!这一点再怎么强调也不为过!特别是如果你没有 a) 时间和 b) 基本的 LaTeX 知识(这对我来说很明显)作为你的写作工具。你应该坚持使用你熟悉的 OpenOffice-Writer 或类似的文字处理器。你将在更短的时间内获得更令人满意的结果,因为你不必学习一个全新的工具。(我不想说,LaTeX 是一个错误的选择。它根本不是。但是如果你时间紧迫,管理工具并拥有足够的资源来写好文章将是一项非常困难的任务!)
对我来说,这似乎就像您第一次使用 LaTeX 并尝试以类似的方式使用它一样,一些没有经验的用户会使用 OOo-Writer 和 Co.(例如,您引入方程编号的方式以及引用这些数字的方式,等等。)
如果你有时间,学习 LaTeX,写一份讲义,这将是一堂很好的课。但要准备好投入大量时间来学习你的新工具,并帮自己一个忙,向一些有经验的用户询问排版和相关主题。经常询问,避免养成错误的习惯!
当然,TeX.SE 也是一个来源。这里有很多东西要学。
事实上,在真正开始写作之前,手头上要有一份文档的大纲或草图。只需以 、 、 -命令等形式输入内容,即可轻松将手写的大纲草图传输到(最空的)LaTeX 文件中。\section
在\subsection
和之后\subsubsection
有一个\tableofcontents
-条目。这样,您就可以运行 latex(两次就足够了)并在目录中打印出大纲。\begin{document}
\maketitle
写作时,先为自己挑选下一个主题,然后集中精力。把肉放在空骨头骨架上。写短句。写清晰的句子。完成一个想法后,按两次 ENTER 键,在输入文件(即 LaTeX 文件)中生成一个空白行。
不要太担心输出格式。只要您的 LaTeX 文件编译成功并且结构正确,就不要再问诸如“如何更改边距宽度”、“如何更改为 Times New Roman”之类的问题。请集中精力于内容和逻辑,而不是布局。
多使用注释来记录你做了什么以及为什么这么做。如果仍然缺少文本、图形等,请%%TODO
在 LaTeX 文件中为自己添加一个类似“ ”的注释,以提醒自己。(它不会出现在输出文件中!)
尝试找出您所描述的内容的逻辑意义。尝试在您的文档中也反对这种逻辑。清晰而清晰将大大支持您的文档结构。想想:这里开始一个未编号的列表,...这里结束。说(更好的类型:)\begin{itemize} ... \end{itemize}
。
为自己准备一份好的 LaTeX 印刷版简介。“LaTeX-Kurzanleitung” 是一个很好的起点。
通过独立学习每一课来熟悉 LaTeX,然后将其纳入您的精彩文档中。
这是我对您的文档所做的更正。希望您不介意。
%% Maybe you really need an report or book instead of an article?!
%% Nevertheless, I argue, to use KOMA-Script classes, which are
%% scrartcl or scrreprt or scrbook. To save paper, use option
%% "twoside" in any case. There is no excuse, to stay with "oneside"
%% any more.
\documentclass[10pt,,twoside,a4paper]{scrartcl} % better adapted to german needs
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[main=german,english]{babel} % german hyphenations, quotes, ...
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
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%% A new definiton, to get some Lemma and such:
\newtheorem{satz}{Satz}
\newtheorem{beweis}{Beweis}[section]
%% Definition of the pagestyle. Headings will draw a title on the top
%% of the page.
\pagestyle{headings}
%% Definition for the title(page).
\title{Vorlesung Gewöhnliche Differentialgleichungen WS 16/17}
\author{Pink Panther}
\date{{Im Dezember 2016}}
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\begin{document}
%% Make a title(page). On report and book classes, a complete
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\maketitle
%% Also: do include a Table of Contents
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%% First section.
\section{Problemstellung und Grundbegriffe}
\label{sec:problemstellung}
%% always set a \label after sectioning commands. Set it directly
%% afterwards, don't set any!! other command, don't loose any time.
%% The content within the brace must be unambigous! It should be
%% easy to memorize, in order to be easily retrieved when you want to
%% use it in a referencing command, i. e. \ref{sec:problemstellung} or
%% \pageref{sec:problemstellung}.
\subsection{Einige klassische Beispiele}
\label{sec:beispiele}
\subsubsection{Beispiel Radioaktiver Zerfall}
\label{sec:radioakt-zerfall}
Betrachte eine radioaktive Substanz. Sei $x(t)$ die zur Zeit $t$
vorhandene Masse.
%% X' should be written as $x^{\prime}$
%% Some better german text, to introduce the $\dot{x}$:
Die erste Ableitung nach der Zeit der Funktion $x(t)$, also
$x^{\prime}(t)$ wird in der Technik auf häufig als $\dot{x}(t)$
geschrieben. Demzufolge wird die zweite Ableitung nach der Zeit mit
einem doppelten Punkt über der Variable geschrieben: $\ddot{x}(t)$
%% The following equation should not be presented in text as "inline"
%% equation, but instead be displayed as a paragraph of its own. In
%% that case, you call it a displayed formulae. Correctly you should
%% use another environment. The \displaymath-environment or
%% equation-environment are both able to display one single line of
%% code her. There must not be white lines in the environment! The
%% equation environment will also print a equation number. The
%% equation number can be referenced, as you can reference a section.
%% In this case, you should have a environment, that is capable of
%% more than one line, as you intend to rearrange your equation
%% contents. You could use the eqnarray-environment. In the
%% eqnarray, you place the relation sign (most of the times the "=")
%% between an ampersand as this: "& = &". New lines will be
%% introduced by a double backslash
Dann ist die Zerfallsrate (Veränderung) zur Zeit $t$:
\begin{eqnarray}
x^{\prime}(t) & = & \nonumber \\
\dot{x}(t) & = & lim_{\Delta t \to 0} \left (\frac{\Delta(t+\Delta t)
-x(t)}{\Delta t} \right)
\label{eq:1}
\end{eqnarray}
%% Why the () around the fraction? If needed, use \left and \right to
%% give them the appropriate height
%% You introduced $\dot{x}$, than you should use it!
Die zeitliche Entwicklung wird beschrieben durch
$x^{\prime}(t) = -\alpha x(t)$ für ein geeignetes $\alpha > 0$. Alle
Lösungen haben die Gestalt $x(t)=c \cdot e^{-\alpha \cdot t}$ mit
einer Konstanten $c>0$.
%% \newline is a text command. You should not use it in math mode as below.
% $\newline$
%% It would be better, to insert a blank line in your LaTeX-file.
%% That will produce a new paragraph in the output. (Normally the new
%% paragraph is in output indented, but not separated by a empty
%% line. You can also change that.)
Zum Beispiel:
%% Again: use the correct environment.
%% Iinstead of <=> use \Leftrightarrow
%% Use \quad or \qquad to separate the arrow and the formulae
%% Leave those \cdot away.
\begin{eqnarray}
\dot{x}(t) & = & -\alpha c e^{-\alpha t} \\
\Leftrightarrow\quad -\alpha x(t) & = & -\alpha c e^{-\alpha t}
\label{eq:2}
\end{eqnarray}
Sei $\tau$ ein fester Zeitpunkt und $\xi$ gegeben. Oft sucht man
Lösungen der DGL, welche zusätzlich $x(t)=\xi$ erfüllen. Dies führt
auf $x(t)=\xi e^{-\alpha (t-\tau)}$, also
$c=\xi e^{\alpha \tau}$.
\subsubsection{Erzwungene Schwingungen}
\label{sec:erzwungene-schwingungen}
Sei $x=x(t)$ die Abweichung der Höhe des Gewichts mit der Masse $m$
von der Ruhelage. Die erste Ableitung $\dot{x}(t)$ ist die Geschwindigkeit
zur Zeit $t$, die zweite Ableitung $\ddot{x}(t)$ ist die
Beschleunigung. Es gilt dabei das Newtonsches Kraftgesetz, nachdem
eine Kraft das Produkt aus der Masse eines Körpers und seiner
Beschleunigung sind.
%% German quotes are eithter (shortform when using german style)
%% "`Anführungszeichen"'. The correct form would be
%% \glqq{}Anführungszeichen\grqq{}.
%% USe complete sentences.
% "Kraft = Masse $\cdot$ Beschleunigung"
$m \ddot{x}(t)=-Dx(t) + A \sin(\omega t)$ mit $D>0$, Federkonstante,
$A>0$ Amplitude, $\omega>0$ Frequenz der äußeren Anregung.
\begin{eqnarray}
\omega_0 & = & \sqrt{\frac{D}{m}} \\
a & = &\frac{A}{m} \\
\Rightarrow \quad \ddot{x} & = & -\omega_0^2 x \sin(\omega t)
\label{eq:3}
\end{eqnarray}
%% Here you could use a numbered list, which is automatically numbered
%% by LaTeX.
Es gibt folgende Lösungen
\begin{enumerate}
\item $\omega_0 \neq \omega:$ Jede Lösung hat die Form
$x(t)=\frac{a \sin(\omega t)}{\omega_0^2 - \omega^2}+b \sin(\omega_0 t -\varphi)$,
mit $b,\varphi \in \Bbb{R}$. Insbesondere gilt:
$sup_{t\in \Bbb{R}}|x(t)| < \infty$, d.\,h.\ die Lösung ist
beschränkt.
\item $\omega_0 = \omega$: hierbei handelt es sich um eine sog.\
"`Resonanzkatastrophe"'. Die Lösung ist komplizierter und für
$t \to \pm \infty$ unbeschränkt.
%% use \pm to present the plus/minus sign. \mp is the minus/plus sign.
\end{enumerate}
\subsubsection{Populationswachstum}
\label{sec:populationswachstum}
Es sei $x=x(t)$ die Größe einer Population zur Zeit $t$ und
$\dot{x}(t)$ deren Änderungsrate. Die sogenannte logistische
Gleichung ist $\dot{x}(t)=\alpha x(t)-\beta x(t)^2$, mit $\alpha,\beta>0$,
wobei $\alpha$ die Vermehrungsrate und $\beta x(t)^2$ "`soziale
Reibung"' sind.
\begin{equation}
\dot{x} = (\alpha-\beta x)x, \quad x>0
\end{equation}
% \begin{equation}
% \alpha - \beta x \begin{cases} >0, & \text{0<x<\frac{\alpha}{\beta}\\
% =0 & \text{x=0 \lor x=\frac{\alpha}{\beta}\\ <0,x>
% \frac{\alpha}{\beta}}
% \end{cases}
% \end{equation}
Man zeigt:
$x(0)>0 \Rightarrow lim_{t \to
\infty}x(t)=\frac{\alpha}{\beta}$
\subsubsection{Planetenbewegungen}
\label{sec:planetenbewegungen}
Werden zwei Himmelskörper mit den Massen $m>0$ und $M>0$, wobei
$M>>m$, z.\,B.\ ein Planet und eine Sonne, welche wir ins Zentrum
$0 \in \Bbb{R}^3 \setminus\{0\}$ die Position des Planeten relativ zur
Sonne. Dann sind $\dot x(t)\in \Bbb{R}^3$ die Geschwindigkeit, sowie
$\ddot{x}(t)\in \Bbb{R}^3$ die Beschleunigung. Das Newton'sche
Gravitationsgesetz sagt:
$m \ddot{x}(t)=-\gamma Mm\frac{x(t)}{||x(t)||^3}$
\subsection{Allgemeines}
\label{sec:allgemeines}
Man beschäftigt sich mit Gleichungen der Form
$F(t,x,\dot{x},\ddot{x},\dots,x^{(n)})=0 (*)$ mit $n\in \Bbb{N}$
("`Ordnung"') und einer Funktion $F:\Omega \to \Bbb{R}^m$ auf einem
gewissen Defintionsbereich
$\Omega \subset \Bbb{R} \times \Bbb {R}^{N(n+1)}$ mit
$t\in \Bbb{R}, x\in \Bbb{R}^N$ Für $M=1$ heißt $(*)$ eine implizite DGL
$n$-ter Ordnung,für $M\ge 2$ spricht man von einem System
%% I am no mathematician, but I am sure, this usage is not the
%% intended usage. Use \dots to create three (not more!) dots.
\begin{equation}
\begin{cases}
F_1(t,x,\dot{x},\ddot{x},\dots,x^{(n)})=0 \\ \vdots \\F_m(t,x,\dot{x},\ddot{x},\dots,x^{(n)})=0
\end{cases}
\label{eq:6}
\end{equation}
\subsection{Beispiel 1.5}
\label{sec:beispiel-1.5}
$M=3,N=4,n=4
e^{x_1\prime\prime+cos(x_2)}=\frac{x_2^{\prime\prime\prime\prime}}{1+x_1^2+x_2^2}, x_1^{\prime \prime \prime}=12(x_2^{\prime \prime })^2
sin(x_1+x_2+x_1^\prime+x_2^{\prime\prime}+x_3+x_4^{\prime})=0$
\subsection{Bemerkungen}
\label{sec:bemerkungen}
Die Klasse der impliziten Differentialgleichungen ist sehr groß,
i.\,A.\ werden diese eine Lösung haben, wie in Beispiel
$sin(x(t)+\dot{x}(t))=2$. Wir beschäftigen uns deswegen mit
expliziten Differentialgleichungen der Form
\begin{equation}
x^{(n)}=f(t,x,\dot{x},\ddot{x},...,x^{(n-1)}) \label{eq:expl-dgl}
\end{equation}
%% Use the theorem definition from the preamble.
%% use \ref{eq:expl-dgl} to get the correct equation number. Use "~"
%% to prevent line wrap.
\begin{satz}
Jedes explizite DGL-System n-ter Ordnung ist äquivalent zu einem
expliziten DGL-System erster Ordnung.
Genauer:
\begin{enumerate}
\item Ist $x:I \to \Bbb R^N$ eine Lösung von
Gleichung~(\ref{eq:expl-dgl}), so ist die Funktion
$z:I \to \Bbb R^{Nn},z(t)=(x(t),\dot{x}(t),....,x^{(n-1)(t)})$ ist
die Lösung von $z'=g(t,z) (***)$ mit $g:G \to \Bbb R^{Nn}$
definiert durch $g(t,z)=(z_2,....,z_n,f(t,z))$ für ein geeignetes
$G \subset \Bbb R x \Bbb R^{Nn}$ und
$z=(z_1,...,z_n)\in \Bbb R^{Nn}$
\item Ist umgekehrt $z:I \to \Bbb R^{Nn}$ eine Lösung von
$z'=g(t,z), so ist x:I \to \Bbb R^N, x(t)=z_1(t)$ Lösung von (**).
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{beweis}
\begin{eqnarray}
z^{\prime}(t) & = & \dot{x}(t)\\
\ddot{x}(t),\dots^{(n)(t)} & = & z_2(t), \dots ,f(t,z(t)) \nonumber\\
& = & g(t,z(t))
\label{eq:4}
\end{eqnarray}
für $t \in I$
$z$ ist Lösung \dots
Setze $v=\dot{x}, z=(x,\dot{x})=(x,v)$
Es ergibt sich:
\begin{eqnarray}
z^{\prime} & = & g(t,z) \\
& = & g(t,x,v)\\
& = & (v,f(t,x,v))
\label{eq:5}
\end{eqnarray}
\end{beweis}
\end{document}