绘制非均匀康托集

Question

使用 lindenmeyer 系统，有一个很好的方法可以使用以下代码来创建均匀康托集。

\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{lindenmayersystems}
\pgfdeclarelindenmayersystem{cantor set}{
  \rule{F -> FfF}
  \rule{f -> fff}
}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \foreach \order in {0,...,4}
    \draw[yshift=-\order*10pt]  l-system[l-system={cantor set, axiom=F, order=\order, step=100pt/(3^\order)}];
\end{tikzpicture}
\end{document}

这是通常的 1/3、1/3 康托集。我可以轻松修改它以制作 1/5、1/5、1/5 康托集等。但我想制作一个非均匀康托集，如 1/4、1/2。并且修改这个不起作用：

\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{lindenmayersystems}
\pgfdeclarelindenmayersystem{cantor set}{
  \rule{F -> FfFF}
  \rule{f -> ffff}
}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \foreach \order in {0,...,4}
    \draw[yshift=-\order*10pt]  l-system[l-system={cantor set, axiom=F, order=\order, step=100pt/(4^\order)}];
\end{tikzpicture}
\end{document}

第一步是正确的，但此后分形不再自相似。有人知道我遗漏了什么吗？

Answer 1

问题在于，您的规则在间隙F -> FfFF后有两个 F。f这会产生预期的结果，即一条线的长度是正常 F 线的两倍，但副作用是它也被扩展了两倍（按照同一规则），在右侧段产生了两个“间隙”，而不是一个。

您需要某种方式来表达规则F -> FfG，即 F 是绘制的线段，fa 是未绘制的（移动）线段，G 是长度不同于 F 长度的新线段。但随后您必须编写一条规则，说明如何为下一步扩展 G，而我们需要某种方式来表达“让 G 成为下一次扩展的 F”，但这无法用 Lyndenmayer 语法来表达。

因此，在我看来，非均匀康托集无法用 Lyndenmayer 语法来表达。至少我尝试了一个小时却没有成功，还是没能做到。例如：

\documentclass[margin=5mm]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{lindenmayersystems}
\pgfdeclarelindenmayersystem{cantor set}{
  \symbol{G}{\pgflsystemdrawforward\pgflsystemdrawforward}
  \rule{F -> FfG}
  \rule{f -> ffff}
  \rule{G -> FfG}  % Doesn't work
 }
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \foreach \order in {0,...,4}
    \draw[yshift=-\order*10pt]  l-system[l-system={cantor set, axiom=F, order=\order, step=100pt/(4^\order)}];
\end{tikzpicture}
\end{document}

这里我定义了一个符号G来画一条两倍于 F 长度的线。这对于第一次扩展和“左分支”的扩展都有效，但后来我没能找到一条规则来表达“右分支”应该如何扩展（即：G 的扩展规则）。结果如下：

Answer 2

均匀和非均匀康托集的组合是相同的。所以我们唯一需要跟踪的是比例因子。因此，F -> F f F我们可以使用代替标准，F -> AF Bf CF D其中A，B，C然后D设置适当的比例因子。

和left factor应right factor适当设置。

\documentclass[tikz,border=7pt]{standalone}
\usetikzlibrary{lindenmayersystems,decorations.pathreplacing,calc}

\tikzset{
    % starting options for the Cantor systems
    cantor/.style = {
      l-system={Cantor, axiom=F, order=#1, step=1cm},
    },
    % define the Cantor factors, the uniform case is 1/3,1/3,1/3
    left factor/.store in=\leftfactor, left factor = {1/3},
    right factor/.store in=\rightfactor, right factor = {1/3},
    % calculate the middle factor
    cantor/.append code={\pgfmathsetmacro{\midfactor}{1-\leftfactor-\rightfactor}}
}
% define the cantor system
\pgfdeclarelindenmayersystem{Cantor}{
  \symbol{A}{\pgftransformscale{\leftfactor}}
  \symbol{B}{\pgftransformscale{(\midfactor)/(\leftfactor)}}
  \symbol{C}{\pgftransformscale{(\rightfactor)/(\midfactor)}}
  \symbol{D}{\pgftransformscale{1/(\rightfactor)}}
  \rule{F -> AF Bf CF D}
}
\begin{document}
  \begin{tikzpicture}[xscale=10, line width=1mm, purple]
    \draw[left factor=1/4,right factor=2/3]
      foreach \order in {0,...,4}{
        [yshift=\order*2mm] l-system [cantor=\order]
      };
  \end{tikzpicture}
\end{document}

但：从 5 阶开始就存在精度问题 :( 这是 7 个级别的图像。

另外，但是，考虑到1/4,1/4,1/2因素，最多可以达到 7 阶；）