需要帮助清理我的代码

Question

\documentclass{article}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\begin{document}
\begin{proof}
Given $\epsilon<0$,$\left|\frac{1}{\sqrt[3]{n}}-0\right|<\epsilon
\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt[3]{n}}<\epsilon
\Leftrightarrow\ \sqrt[3]{n}>\frac{1}{\epsilon}
\Leftrightarrow\ n>\frac{1}{\epsilon^{3}}$.
Therefore, for any $\epsilon>0$, there exists $N\in\mathbb N$ such that 
$N > \frac{1}{\epsilon^{3}}$. Then, for any $n\geq N$, we have 
$\left|\frac{1}{\sqrt[3]{n}}-0\right|= \frac{1}{\sqrt[3]{n}} 
\leq \frac{1}{\sqrt[3]{N}} < \epsilon$.
\end{proof}
\end{document}

我觉得看起来很乱。谢谢！！

Answer 1

一些建议：

• 不要在任何给定的输入行中塞入太多材料。空格和明智选择的换行符是您的朋友。如果您保持输入行简短，不仅输入会更容易阅读，而且调试数学材料也会更容易、更快，因为任何给定错误消息中的行号信息将引用较少的材料。

• 加载mathtools包并定义一个\abs宏。

• 由于至少有十几个实例sqrt[3]{...}，也许可以定义一个名为的宏\cuberoot？

• 生成的输出在\LeftRightArrow视觉上并不突出。我建议将所有实例替换为\Leftrightarrow（\iff“当且仅当”）。

• \frac尽可能避免在内联数学中使用表达式。相反，使用内联分数。例如，不要\frac{1}{\cuberoot{n}}写 ，而要写1/\cuberoot{n}。

• 除非您的文档空间非常紧张，否则请通过在显示数学模式下排版来更突出地显示重要公式。

• 正如@egreg 在评论中指出的那样，以“因此”开头的句子听起来不对，因为“存在 $N\in\mathbb N$ 使得 $N > 1/\epsilon^{3}$”这样的陈述是不是这是“因此”之前的结果。我建议用“因为集合 $\mathbb{N}$ 是无界的……”来代替“因此”。

• 而在语义正确性的问题上，也许可以改为Then, for any $n\geq N$，Then, for all $n\geq N$即将“任何”替换为“全部”？

• 最后但同样重要的一点是，请用 替换Given $\epsilon<0$. Given $\epsilon>0$:-)

以下代码和相关屏幕截图实现了这些建议。第一个版本包含所有内联数学运算；第二个版本包含两个未编号数学运算显示。

\documentclass{article}
\usepackage{amssymb,mathtools,amsthm}
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\newcommand\cuberoot[1]{\sqrt[3]{#1}}

\begin{document}
\begin{proof}
Given $\epsilon>0$,
$\abs{1/\!\cuberoot{n}-0} < \epsilon
\iff 1/\!\cuberoot{n} < \epsilon
\iff \cuberoot{n} > 1/\epsilon
\iff n > 1/\epsilon^{3}$.
Because the set $\mathbb{N}$ is unbounded above, for 
any given $\epsilon>0$ there exists 
$N\in\mathbb N$ such that $N > 1/\epsilon^{3}$. 
Then, for all $n\geq N$, we have 
$\abs{1/\!\cuberoot{n}-0} = 
1/\!\cuberoot{n} \leq 
1/\!\cuberoot{N} < \epsilon$.
\end{proof}

\begin{proof}
Given $\epsilon>0$,
\[
\abs[\Big]{\frac{1}{\cuberoot{n}}-0} < \epsilon
\iff \frac{1}{\cuberoot{n}} < \epsilon
\iff \cuberoot{n} > \frac{1}{\epsilon}
\iff n > \frac{1}{\epsilon^{3}}\,.
\]
Because the set $\mathbb{N}$ is unbounded above, for 
any given $\epsilon>0$ there exists 
$N\in\mathbb N$ such that $N > 1/\epsilon^{3}$. 
Then, for all $n\geq N$, we have 
\[
\abs[\Big]{\frac{1}{\cuberoot{n}}-0} = 
\frac{1}{\cuberoot{n}} \leq 
\frac{1}{\cuberoot{N}} < \epsilon\,. \qedhere
\]
\end{proof}
\end{document}

Answer 2

没有太多需要清理的地方......也许可以声明成对的定界符，如mathtools：

\documentclass{article}
\usepackage{amssymb,amsthm,
            mathtools}                      % <---
\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert} % <---

\begin{document}
    \begin{proof}
Given $\epsilon>0$, $\abs*{\frac{1}{\sqrt[3]{n}}-0}<\epsilon
\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt[3]{n}}<\epsilon
\Leftrightarrow\ \sqrt[3]{n}>\frac{1}{\epsilon}
\Leftrightarrow\ n>\frac{1}{\epsilon^{3}}$.
Therefore, for any $\epsilon>0$, there exists $N\in\mathbb N$ such that
$N > \frac{1}{\epsilon^{3}}$. Then, for any $n\geq N$, we have
$\abs*{\frac{1}{\sqrt[3]{n}}-0}= \frac{1}{\sqrt[3]{n}}
\leq \frac{1}{\sqrt[3]{N}} < \epsilon$.
    \end{proof}
\end{document}