有人能帮我看看这到底是怎么回事吗？我完全不懂 Latex。抱歉，文本是用德语写的。代码不应该是问题，我有另一个文件，以同样的方式编写，编译没有问题。猜想问题出在 texmaker 上。
总是收到错误消息：！包 inputenc 错误：无效的 UTF-8 字节序列。
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{physics}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{fancyhdr}
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\usepackage{amssymb}
\usepackage{verbatim}
\title{Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie Blatt 1}
\author{}
\date{5. Mai 2020}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Aufgabe 5}
Output:
\verbatiminput{Blatt02.R}
Source Code:
\section*{Aufgabe 6}
\subsection*{i.)}
$\emptyset$ ist endlich
\[\Rightarrow \emptyset ^c=\Omega \in \mathcal{F}\]
Sei $A\in \mathcal{F}$, nach Konstruktion von $\mathcal{F}$ $\Rightarrow A^c\in \mathcal{F}$
\\Sei $A_n \in \mathcal{F}, \ \forall n \in \mathbb{N}$ und $I\subset \mathbb{N}$ mit $i \in I\Rightarrow A_i$ abzählbar. Wir definieren zudem noch $J:=\mathbb(N)\backslash I$, $A:=\bigcup\limits_{i\in I} A_i$ und $B:=\bigcup\limits_{j\in J} A_J$
\begin{equation*}
\begin{split}
&B=\bigcup\limits_{j\in J} A_J\\
\Rightarrow & B^c=\bigcap\limits_{j\in J} A_j^c\\
\end{split}
\end{equation*}
Da abzählbare Vereinigungen und Schnitte von abzählbaren Mengen wieder abzählbar sind, sind $A$ und $B^c$ oder $B$ (Im Fall $B=\emptyset $) abzählbar und damit:
\[A,B \in \mathcal{F}\]
\begin{equation*}
\begin{split}
&\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} A_n=A \cup B\\
\Rightarrow & (\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} A_n)^c=A^c \cap B^c
\end{split}
\end{equation*}
mit $A^c, B^c \in \mathcal{F}\Rightarrow \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{F}$
\newline $\Rightarrow \mathcal{F}$ ist $\sigma$ -Algebra
\newline $\emptyset$ ist endlich
\[\mu(\emptyset)=0.\]
Da $\mu(\mathcal{F}={0,1}$ ist (M2) offensichtlich erfüllt.
Sei $A,B\in \mathcal{F}$ mit $A,B$ überabzählbar und $A\neq B^c$. Angenommen $A\cap B=\emptyset$
\begin{equation*}
\begin{split}
\Rightarrow & (A\cap B)^c=\Omega \\
\Rightarrow & A^c \cup B^c = \Omega\\
\end{split}
\end{equation*}
Da $A^c,B^c$ abzählbar und $\Omega$ überabzählbar haben wir einen Wiederspruch zur Annahme. Also sind zwei überabzählbare Mengen in $\mathcal{F}$ nie disjunkt. Mit der Aussage, dass abzählbare Vereinigungen von abzählbaren Mengen wieder abzählbar sind und eine beliebige abzählbare Menge mit einer überabzählbaren Menge vereinigt wieder eine überabzählbare Menge ergibt, folgt dann dass (M3) erfüllt ist.
Damit ist $\mu$ ein Maß auf $\mathcal{F}$.
\subsection*{ii.)}
$\{1 \} $ erzeugt $\mathcal{P}(\{ 0,1 \} )$ auf $\{0,1\} .$
\[ \varphi^{-1}( \{ 1\})=\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} \in \mathcal{F} \]
Dann folgt nach Satz 1.20 $\varphi$ messbar. Sei $A \in \mathcal{P}(\{ 0,1 \} )$
\[\mu_\varphi(A)=\mu(\varphi^{-1}(A)=
\begin{cases}
1 &, \varphi^{-1}(A) \text{ überabzählbar} \\
0 &, \text{ sonst}
\end{cases}
=
\begin{cases}
1 &, 1 \in A \\
0 &, 1 \not\in A
\end{cases}
\]
\newpage
\section*{Aufgabe 8}
Sei $\varepsilon>0, \delta>0$ und $x \in U_f^{\delta,\varepsilon}$
\[\Rightarrow \exists y,z \in B_\delta(x) : d_2(f(y),f(x))>\varepsilon\]
\[\Rightarrow d_1(x,y)<\delta \wedge d_1(x,z)<\delta\]
Sei $j:= \max(d_1(x,y),d_1(x,z))<\delta$ und $\alpha \in \left] 0,\delta-j\right[ \neq \emptyset$
\begin{equation*}
\begin{split}
\Rightarrow & B_\alpha (x) \subset B_\delta (x) \wedge (\forall a \in B_\alpha (x): d_1(a,y)<\delta \wedge d_1(a,z)<\delta ) \\
\Rightarrow & y,z \in B_\delta(a), \ \forall a \in B_\alpha(x)\\
\Rightarrow & B_\alpha(x) \in U_f^{\delta,\varepsilon}\\
\end{split}
\end{equation*}
$\Rightarrow U_f^{\delta,\varepsilon}$ offen und $U_f^{\delta,\varepsilon} \in \mathcal{B}$
\newline $f$ in $x \in \Omega_1$ nicht stetig
\[\Leftrightarrow \exists\varepsilon>0,\forall\delta>0\exists y \in B_\delta(x): d_2(f(x),f(y))>\varepsilon\]
\[\Leftrightarrow \exists\varepsilon>0,\forall\delta>0\exists y,z \in B_\delta(x): d_2(f(z),f(y))>\varepsilon \ \ \ (*)\]
Wenn man sich (*) anschaut, sieht man dann wie man $U_f$ aus den $U_f^{\delta,\varepsilon}$ konstruieren kann.
\[U_f\overset{!}{=}\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}U_f^{\frac{1}{k},\frac{1}{n}}\]
Sei $x \in U_f$
\begin{equation*}
\begin{split}
\Leftrightarrow & \exists\varepsilon>0,\forall\delta>0\exists y,z \in B_\delta(x): d_2(f(z),f(y))>\varepsilon \\
\Leftrightarrow & \exists\varepsilon>0,\forall\delta>0: x \in U_f^{\delta,\varepsilon}\ \ \ \ (**) \\
\end{split}
\end{equation*}
da für $a>b>0$ und $c>d>0$ gilt: $U_f^{a,d}\subset U_f^{a,c} \wedge U_f^{a,d}\subset U_f^{b,d}$
\begin{equation*}
\begin{split}
(**)\Leftrightarrow & \exists\varepsilon>0\exists n\in\mathbb{N} \text{ mit } \frac{1}{n}<\varepsilon,\forall k\in \mathbb{N} : x \in U_f^{\frac{1}{k},\frac{1}{n}}\\
\Leftrightarrow & \exists n\in\mathbb{N}: x \in \bigcap\limits_{k=1}^{\infty}U_f^{\frac{1}{k},\frac{1}{n}}\\
\Leftrightarrow & x\in\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}U_f^{\frac{1}{k},\frac{1}{n}}\\
\end{split}
\end{equation*}
Damit ist $U_f$ die abzählbare Vereinigung von abzählbaren Schnitten von Mengen in $\mathcal{B}$ \[\Rightarrow U_f \in \mathcal{B}\]
\end{document}
答案1
发布的编码是有效的 UTF-8（因为网站始终提供 UTF-8），但您的原始文件不是。很可能它采用的是传统的 8 位编码，例如 latin-1（iso-8859-1），在这种情况下，您可以使用
\usepackage[latin1]{inputenc}
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