\frac 误差的有趣递归行为

Question 1

为了理解发生了什么，让我们考虑一个稍微简单一点的例子。定义\macro为一个带有一个参数的宏

\newcommand\macro[1]{abc}

参数被忽略，扩展仅包含abc。现在我们使用\macro但\text省略参数。

\[ \text{$\macro$} \]

结果与您观察到的类似：

为了进一步理解这一点，让我们写出一些类似于\text底层的东西（当然是彻底简化的）。输出与相同\text。

\[ \mathchoice{\hbox{$\displaystyle \macro$}}%
              {\hbox{$\textstyle \macro$}}%
              {\hbox{$\scriptstyle \macro$}}%
              {\hbox{$\scriptscriptstyle \macro$}} \]

这里我们使用了，\mathchoice这是一个原语，它接受四个参数，每个参数代表一种可能的数学样式，由我在中使用的样式宏指示\hbox。每个参数都在一个临时框中展开和排版，但只会输出与当前样式相对应的参数。因此，以下代码片段将导致

\[ \mathchoice{D}{T}{S}{SS} \] % -> D
$ \mathchoice{D}{T}{S}{SS} $ % -> T
$ _{\mathchoice{D}{T}{S}{SS}} $ % -> S
$ _{_{\mathchoice{D}{T}{S}{SS}}} $ % -> SS

这是使其正确适应周围数学风格的机制\text。现在，在我们的缺失参数示例中会发生什么。如果我们展开，\macro我们得到

\[ \mathchoice{\hbox{$\displaystyle abc}}%
              {\hbox{$\textstyle abc}}%
              {\hbox{$\scriptstyle abc}}%
              {\hbox{$\scriptscriptstyle abc}} \]

哎呀，\macro吃掉了结尾$，现在有很多不匹配的$。现在我们可以通过阅读错误消息来跟踪 TeX 的扫描过程。第一个错误是

! Extra }, or forgotten $.
l.4 \[ \mathchoice{\hbox{$\displaystyle \macro$}
                                               }%

TeX 告诉我们，错误发生在读取}之后\macro$，换行符表示。它还告诉我们，它原本期待的是$，但却遇到了}。这很合理，因为\macro刚刚吞下了$。以下几行也发生了完全相同的情况，TeX 仍在寻找$永远不会出现的结束符，因此所有内容都记录在的第一个参数中\mathchoice。这甚至超出了数学环境的范围，并且只有在$平衡或到达文档末尾时才会结束。最终，TeX 意识到事情出了问题，并开始插入多个$和，}直到满足条件为止。然后，它排版的第一个参数，\mathchoice其中包含直到无效部分为止的所有内容。你可以用这个制作有趣的东西

\documentclass{article}
\usepackage{xcolor}
\newcommand\macro[1]{abc}
\begin{document}

$ \mathchoice{unused}%
             {\hbox{\color{red}$\textstyle \macro$}}%
             {scriptstyle}%
             {scriptscriptstyle} $
Wait, what is happing?
Why is everything red and in one line?
What happened to the linebreaks?
When is this ever going to end?

\end{document}

这种\frac情况有点难以解释，因为它里面有一个组，但大致的工作原理是一样的。未终止的宏会吃掉尾随的字符$，而 TeX 会继续扫描，直到$达到平衡或到达文档末尾。

Answer

为了理解发生了什么，让我们考虑一个稍微简单一点的例子。定义\macro为一个带有一个参数的宏

\newcommand\macro[1]{abc}

参数被忽略，扩展仅包含abc。现在我们使用\macro但\text省略参数。

\[ \text{$\macro$} \]

结果与您观察到的类似：

为了进一步理解这一点，让我们写出一些类似于\text底层的东西（当然是彻底简化的）。输出与相同\text。

\[ \mathchoice{\hbox{$\displaystyle \macro$}}%
              {\hbox{$\textstyle \macro$}}%
              {\hbox{$\scriptstyle \macro$}}%
              {\hbox{$\scriptscriptstyle \macro$}} \]

这里我们使用了，\mathchoice这是一个原语，它接受四个参数，每个参数代表一种可能的数学样式，由我在中使用的样式宏指示\hbox。每个参数都在一个临时框中展开和排版，但只会输出与当前样式相对应的参数。因此，以下代码片段将导致

\[ \mathchoice{D}{T}{S}{SS} \] % -> D
$ \mathchoice{D}{T}{S}{SS} $ % -> T
$ _{\mathchoice{D}{T}{S}{SS}} $ % -> S
$ _{_{\mathchoice{D}{T}{S}{SS}}} $ % -> SS

这是使其正确适应周围数学风格的机制\text。现在，在我们的缺失参数示例中会发生什么。如果我们展开，\macro我们得到

\[ \mathchoice{\hbox{$\displaystyle abc}}%
              {\hbox{$\textstyle abc}}%
              {\hbox{$\scriptstyle abc}}%
              {\hbox{$\scriptscriptstyle abc}} \]

哎呀，\macro吃掉了结尾$，现在有很多不匹配的$。现在我们可以通过阅读错误消息来跟踪 TeX 的扫描过程。第一个错误是

! Extra }, or forgotten $.
l.4 \[ \mathchoice{\hbox{$\displaystyle \macro$}
                                               }%

TeX 告诉我们，错误发生在读取}之后\macro$，换行符表示。它还告诉我们，它原本期待的是$，但却遇到了}。这很合理，因为\macro刚刚吞下了$。以下几行也发生了完全相同的情况，TeX 仍在寻找$永远不会出现的结束符，因此所有内容都记录在的第一个参数中\mathchoice。这甚至超出了数学环境的范围，并且只有在$平衡或到达文档末尾时才会结束。最终，TeX 意识到事情出了问题，并开始插入多个$和，}直到满足条件为止。然后，它排版的第一个参数，\mathchoice其中包含直到无效部分为止的所有内容。你可以用这个制作有趣的东西

\documentclass{article}
\usepackage{xcolor}
\newcommand\macro[1]{abc}
\begin{document}

$ \mathchoice{unused}%
             {\hbox{\color{red}$\textstyle \macro$}}%
             {scriptstyle}%
             {scriptscriptstyle} $
Wait, what is happing?
Why is everything red and in one line?
What happened to the linebreaks?
When is this ever going to end?

\end{document}

这种\frac情况有点难以解释，因为它里面有一个组，但大致的工作原理是一样的。未终止的宏会吃掉尾随的字符$，而 TeX 会继续扫描，直到$达到平衡或到达文档末尾。

Question 2

前提是错误的。是代码中的第二个参数\frac正是$。

的定义frac是

\DeclareRobustCommand{\frac}[2]{{\begingroup#1\endgroup\@@over#2}}

其中与重新定义以产生警告的原语相同。由于该命令需要两个参数，因此它可以作为第一个参数进行扫描，\@@over然后由于没有后续参数，它会吸收下一个参数\overamsmath{123}{令牌作为第二个参数。因此，您得到的结果是

$\frac{123}{$}

现在这变成了

${\begingroup123\endgroup\@@over$}

这已经会产生

! Missing } inserted.
<inserted text>
                }
l.6 $\frac{123}$

?
! Too many }'s.
\frac  #1#2->{\begingroup #1\endgroup \@@over #2}

l.6 $\frac{123}$

?

即使不在内\text。$由于尚未平衡，因此该标记出现在它不应该出现的位置，{因此 TeX 添加}以进行恢复；然后它重新扫描$，这将结束数学模式，并且下一个}会触发错误，因为它不再与相应的平衡{。

情况\text更糟，因为\text会产生四个版本的参数，以便根据最终的数学风格只使用其中一个。上面的两个错误将变成八错误消息，但略有不同，因为它们是在 TeX 正在处理时生成的\text（\text@是其内部版本，仅供参考）：

! Missing } inserted.
<inserted text>
                }
l.6 \[\text{$\frac{123}$}
                         \]
?
! Missing { inserted.
<to be read again>
                   }
l.6 \[\text{$\frac{123}$}
                         \]
?
! Missing } inserted.
<inserted text>
                }
l.6 \[\text{$\frac{123}$}
                         \]
?
! Missing { inserted.
<to be read again>
                   }
l.6 \[\text{$\frac{123}$}
                         \]
?
! Missing } inserted.
<inserted text>
                }
l.6 \[\text{$\frac{123}$}
                         \]
?
! Missing } inserted.
<inserted text>
                }
l.6 \[\text{$\frac{123}$}
                         \]
?
! Extra }, or forgotten $.
\text@ ...style \ssf@size {\firstchoice@false #1}}
                                                  \check@mathfonts }
l.6 \[\text{$\frac{123}$}
                         \]
?
! Extra }, or forgotten $.
\text@ ...firstchoice@false #1}}\check@mathfonts }

l.6 \[\text{$\frac{123}$}
                         \]
?

“abc” 后面跟着一个无分母分数的三个变体，这只是错误恢复的副产品，不应该“认真对待”。实际上，按回车键八次就能让 TeX 同步，这相当令人惊讶。

Answer