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TikZ 中椭圆体上的正交投影

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TikZ 中椭圆体上的正交投影

在 TikZ 中，我想绘制从一个点到（旋转和平移的）椭圆的正交投影。作为一个具体的例子，我想从图片中的点到椭圆绘制最短的线，最好也在椭圆上标记该点：

在此处输入图片描述

我已经成功地用一个圆完成了这个任务（因为点就是圆与点的交点以及通过点本身和圆心的线）。但是对于椭圆，我似乎无法让它在 TikZ 中工作。

上图的示例代码如下：

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz,tkz-euclide}

\begin{document}

\newcommand{\boundellipse}[3]% center, xdim, ydim
{(#1) ellipse (#2 and #3)
}

\begin{tikzpicture}

\draw[shift={(-0.875,0)},rotate=25] \boundellipse{0,0}{1}{3};%left

\node at (0,4)[circle,fill,inner sep=1.5pt]{};

\end{tikzpicture}

\end{document}

答案1

我建议 TikZ + 梯度下降

\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{tikz,tkz-euclide}

\begin{document}

\newcommand{\boundellipse}[3]% center, xdim, ydim
    {(#1) ellipse (#2 and #3)}

\makeatletter
\xdef\sx{-0.875} % shift x
\xdef\sy{0} % shift y
\xdef\ra{1} % radius a
\xdef\rb{3} % radius b
\xdef\ro{25} % rotation
\pgfpointxy{0}{4}
\xdef\Px{\the\pgf@x}\xdef\Py{\the\pgf@y}

% let \ang ("angle") be a free variable and run gradient descent
\def\ang{234} % choose your favorite initial value
\foreach\iterationcounter in{1,...,20}{
    \begin{tikzpicture}
        \draw(-5,-3)rectangle(1,5);
        \draw[shift={(-0.875,0)},rotate=25] \boundellipse{0,0}{1}{3};
        \node at (0,4)[circle,fill,inner sep=1.5pt]{};
        % evaluate Ellipse(\ang)
        \pgfpointxy{\sx + \rb*cos(\ang)*sin(\ro) + \ra*sin(\ang)*cos(\ro)}
                    {\sy - \rb*cos(\ang)*cos(\ro) + \ra*sin(\ang)*sin(\ro)}
        \xdef\Qx{\the\pgf@x}\xdef\Qy{\the\pgf@y}
        \draw(\Qx,\Qy)circle(.1);
        % evaluate diff vector to target point
        \xdef\Dx{\the\dimexpr\Px-\Qx}
        \xdef\Dy{\the\dimexpr\Py-\Qy}
        \draw[red,->](\Qx,\Qy)--+(\Dx,\Dy);
        % evaluate tangent line = d Ellipse(\ang) / d\ang 
        \pgfpointxy{- \rb*sin(\ang)*sin(\ro) + \ra*cos(\ang)*cos(\ro)}
                    {+ \rb*sin(\ang)*cos(\ro) + \ra*cos(\ang)*sin(\ro)}
        \xdef\Tx{\the\pgf@x}
        \xdef\Ty{\the\pgf@y}
        \draw[blue,->](\Qx,\Qy)--+(\Tx,\Ty);
        % inner product
        \pgfmathsetmacro\Inn{\Dx*\Tx + \Dy*\Ty}
        % rescale inner product
        \pgfmathsetmacro\inn{\Inn / sqrt(\Tx*\Tx+\Ty*\Ty)}
        \message{^^J thinbold: \inn ^^J}
        % update angle
        \pgfmathsetmacro\ang{\ang + \inn/10} % /10 is the step length
        \xdef\ang{\ang}
    \end{tikzpicture}
}

\end{document}

答案2

数学问题和算法方法

正如 @Thruston 所言，解决这个问题需要数学。无论如何，这会导致一个不平凡的（四次）方程，很难用解析方法求解（让我们看看类似问题或者点到椭圆及点到椭球距离方程分析）。因此，我们的想法是通过数值方法求解该方程。https://wet-robots.ghost.io/simple-method-for-distance-to-ellipse/我发现了一种几何稳定的算法，通过最小化与原点的距离来找到椭圆上的点（正交投影）。

算法

以下步骤和图像将会阐明这个想法。

  1. 连接哦和磷为了得到A_开始（这允许在椭圆的“右侧”运行算法）。
  2. 画一个圆（蓝色），并取蓝色圆与椭圆的两个交点的中点。
  3. 使用中点绘制一个新的较小的圆圈（紫色）并重复该过程（即红色，橙色，粉色......）

在此处输入图片描述

代码

代码需要包tikz和，tkz-euclide特别\usetikzlibrary{intersections}是交叉点。我使用是tkz-euclide因为我对这些命令感觉很好。无论如何，你可以在纯 tikz 中获得相同的结果。

\begin{tikzpicture}

% INITIAL DATA %
% the arbitrary point P
\tkzDefPoint(3,2){P}
% the center of the ellipse
\tkzDefPoint(0,0){O}
% use rotate=angle to set the desired orientation
\path[draw,name path=theellipse,rotate=20] (O) ellipse (2cm and 1cm);
\tkzLabelPoints[above right](P)
\tkzLabelPoints[below left](O)

% STARTING POINT OF ALGORITHM %
\path[name path=OP] (O)--(P);
\path[name intersections={of=OP and theellipse,by={Aone}}];
% comment/erase if need next three code lines
\tkzLabelPoint[above left](Aone){$A_{\textrm{start}}$}
\tkzDrawCircle[help lines](P,Aone)
\tkzDrawPoints(Aone)

% ALGORITHM TO FIND THE ORTHOGONAL PROJECTION %
% set up a different number of steps if needed
% (algorithm converges relatively fast)
\foreach \i in {1,...,3}
{
% define a circle with center P through Aone
% (Astart for the first step)
\tkzDefCircle[radius](P,Aone)
\tkzGetLength{dPAone}
\path[name path=circle] (P) circle (\dPAone pt);

% find intersections of circle with ellipse (Aone, Atwo)
\path[name intersections={of=circle and theellipse,by={Atwo,Aone}}];

% find a "proper" midpoint of Aone -- Atwo on the ellipse
\tkzDefMidPoint(Aone,Atwo)\tkzGetPoint{Aone}
\path[name path=PAone] (P)--(Aone);
\path[name intersections={of=PAone and theellipse,by={Aone}}];
}


% GET AND PRINT OUT THE DISTANCE
\tkzDrawPoints(O,P,Aone)
\tkzDrawSegment[red](P,Aone)
\end{tikzpicture}

在此处输入图片描述

答案3

仅供比较，你可以非常简单地做到这一点元帖子使用solve宏和合适的辅助函数。

在此处输入图片描述

\documentclass[border=5mm]{standalone}
\usepackage{luamplib}
\begin{document}
\mplibtextextlabel{enable}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);

    path e; pair p; numeric k;
    e = fullcircle xscaled 233 yscaled 144 rotated 10;
    p = 160 dir 142;

    vardef acute(expr t) =
        direction t of e dotprod (p - point t of e) > 0
    enddef;

    k = solve acute(0, 4);

    drawarrow p -- point k of e withcolor red;
    draw e; 
    dotlabel.top(btex $p$ etex, p);

endfig;
\end{mplibcode}
\end{document}

这已被包裹起来，luamplib因此您可以使用它来编译它lualatex。

笔记

  • solve在第 176-177 页进行了解释Metafont 书籍。

  • 这个想法是，你定义宏，foo使得foo(x)是true或false。然后你调用solve foo(a, b)其中a和b是值，使得foo(a)是真 并且foo(b)是假。 使用二分搜索来找到和solve之间的边缘值。ab

  • 在这种情况下，我定义了一个名为的宏acute，它使用dotprod运算符来告诉我们椭圆点处的切线是否与椭圆点的t线形成锐角。pt

  • solve找到角度不再为锐角的点，该点因此是 的直线p与切线正交的点，因此最接近p。

  • 需要一些技巧和判断来为的不同位置选择正确的初始值p。

正如你所看到的，我的解释比代码要长......

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