使用 {align*} 或 {IEEEeqnarray*} 对齐一系列方程时出现问题

Question

我正在尝试使用归纳法对齐证明中的一系列不等式/等式，使用 {align*} 或 {IEEEeqnarray*}。我尽我所能遵循了我能找到的示例，并查看了几个简短的 Latex 教程和“不那么简短的 Latex 2e 简介”。我对 Latex 很陌生，正在使用 Overleaf。

这是我使用 {align*} 的尝试：

\begin{proof}
Base case: If \(n=1\), then we have \(1 < 2^1 \Leftrightarrow 1<2.\) Thus, the theorem holds when \(n=1.\) \\ \\
Inductive hypothesis: Suppose the theorem holds for all values of \(n\) up to some \(k\), \(k \geq 1\). \\
Inductive step: Let \(n=k+1\). Then our left side is
\begin{align*}
k + 1 &\leq k + k && \text{since} k \geq 1. \\
 &< 2^k + 2^k && \text{ since k<2^k by the inductive hypothesis.} \\
 &= 2 \cdot 2^k \\
 &= 2^{k+1}. \\
\end{align*}
which is our right side. So, the theorem holds for \(n=k+1\).
By the principle of mathematical induction, the theorem holds for all \(n \in \mathbb{N}\).
\end{proof}

这在 Overleaf 中产生：

此代码生成的行顺序混乱，并且其中一个不等式末尾的文本出现在后续行文本的末尾。

这是我第二次尝试使用 {IEEEeqnarray*}，将参数简化为一系列不等式/等式：

\begin{proof}
\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
k + 1 & \leq & k + k & \text{since} k \geq 1. \\
& < & 2^k + 2^k & \text{since} k < 2^k \text{by the inductive hypothesis.} \\
& = & 2 \cdot 2^k \\
& = & 2^{k+1}. \\
\end{IEEEeqnarray*}
\end{proof}

这在 Overleaf 中产生：

问题在于由于 $k \geq 1$ 的间距，并且由于某种原因“<”在第二行的解释中没有正确显示。

我花了很多时间在这上面，所以非常感谢大家的帮助。谢谢！

Answer 1

如果您需要插入数学公式\text，则必须切换回数学模式。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{align*}
  k + 1 &\leq k + k && \text{since}\ k \geq 1. \\
   &< 2^k + 2^k     && \text{since $k<2^k$ by the inductive hypothesis.} \\
   &= 2 \cdot 2^k \\
   &= 2^{k+1}. \\
\end{align*}

\end{document}