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为什么正弦的平方项高于余弦的平方项？

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为什么正弦的平方项高于余弦的平方项？

在下面的分数中， 上的正方形sin的格式比 上的正方形高cos：

\int\frac{-2\sin2\theta}{\sqrt{2\cos^2\theta}+\sqrt{2\sin^2\theta}}\,d\theta

渲染 1

正弦平方项似乎也提高了平方根的高度。

下面的公式也存在类似的问题：

\int\frac{\cos{\varphi}\left(1+\cfrac{2\sqrt{1-\sin^2{\varphi}}}{\sqrt{1-2\sin^2{\varphi}}}\right)}{\sqrt{1-\sin^2{\varphi}}+\sqrt{1-2\sin^2{\varphi}}}\,d\varphi

渲染2

正弦项确实将高度提高到打印后使用大约五分之一纸张的程度。我知道我正在使用，\cfrac但这个问题不会出现在其他地方，除非\sqrt{\sin^2\varphi}其中有一个。

答案1

我在准备微积分讲义时也注意到了同样的问题。上标是相对于包含“sin”的整个框放置的，由于标题的原因，它比“cos”和“tan”高。我研究了删除“i”的可能性，但这对 不起作用\sqrt{\sin x}。

因此我倾向于重新定义\cos和\tan使其尽可能高\sin。如果您使用其他测角函数，可能还需要它们。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}

\let\cos\relax % undefine \cos
\DeclareMathOperator{\cos}{cos\vphantom{\mathrm{i}}}
\let\tan\relax % undefine \tan
\DeclareMathOperator{\tan}{tan\vphantom{\mathrm{i}}}

\begin{document}

\begin{gather*}
\int\frac{-2\sin2\theta}{\sqrt{2\cos^2\theta}+\sqrt{2\sin^2\theta}}\,d\theta
\\[1ex]
\sqrt{\tan x}\sqrt{\sin x}\sqrt{\cos x}
\\[1ex]
\sqrt{1+\tan^2 x}\sqrt{1-\sin^2 x}\sqrt{1-\cos^2 x}
\end{gather*}

\end{document}

在此处输入图片描述

您可能觉得有吸引力的另一种选择是粉碎一切，并相信 TeX 有能力避免出现问题。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}

\let\cos\relax % undefine \cos
\DeclareMathOperator{\cos}{cos\vphantom{\mathrm{i}}}
\let\tan\relax % undefine \tan
\DeclareMathOperator{\tan}{tan\vphantom{\mathrm{i}}}

\DeclareMathOperator{\ssin}{\vphantom{x}\smash{\mathrm{sin}}}
\DeclareMathOperator{\scos}{\vphantom{x}\smash{\mathrm{cos}}}
\DeclareMathOperator{\stan}{\vphantom{x}\smash{\mathrm{tan}}}

\begin{document}

With the \verb|\vphantom| strategy
\begin{gather*}
\int\frac{-2\sin2\theta}{\sqrt{2\cos^2\theta}+\sqrt{2\sin^2\theta}}\,d\theta
\\[1ex]
\sqrt{\tan x}\sqrt{\sin x}\sqrt{\cos x}
\\[1ex]
\sqrt{1+\tan^2 x}\sqrt{1-\sin^2 x}\sqrt{1-\cos^2 x}
\end{gather*}

With the \verb|\smash| strategy
\begin{gather*}
\int\frac{-2\ssin2\theta}{\sqrt{2\scos^2\theta}+\sqrt{2\ssin^2\theta}}\,d\theta
\\[1ex]
\sqrt{\stan x}\sqrt{\ssin x}\sqrt{\scos x}
\\[1ex]
\sqrt{1+\stan^2 x}\sqrt{1-\ssin^2 x}\sqrt{1-\scos^2 x}
\end{gather*}

\end{document}

在此处输入图片描述

如果你想实施这一\smash策略，请按照以下方式实施

\let\sin\relax \let\cos\relax \let\tan\relax
\DeclareMathOperator{\sin}{\vphantom{x}\smash{\mathrm{sin}}}
\DeclareMathOperator{\cos}{\vphantom{x}\smash{\mathrm{cos}}}
\DeclareMathOperator{\tan}{\vphantom{x}\smash{\mathrm{tan}}}

答案2

正如评论中指出的那样，发生这种情况是因为“sin”比“cos”高，因为“i”的原因，所以指数略有上升。您可以随时将\smash的高度\sin降低到 的高度。\sin^2\cos^2

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\DeclareMathOperator{\smashedsin}{\smash{\sin}}
\begin{document}
\begin{gather*}
\int\frac{-2\sin2\theta}{\sqrt{2\cos^2\theta}+\sqrt{2\sin^2\theta}}\,d\theta
\qquad
\int\frac{-2\sin2\theta}{\sqrt{2\cos^2\theta}+\sqrt{2\smashedsin^2\theta}}\,d\theta \\[2mm]
\int\frac{\cos{\varphi}\left(1+\cfrac{2\sqrt{1-\sin^2{\varphi}}}{\sqrt{1-2\sin^2{\varphi}}}\right)}{\sqrt{1-\sin^2{\varphi}}+\sqrt{1-2\sin^2{\varphi}}}\,d\varphi
\qquad
\int\frac{\cos{\varphi}\left(1+\cfrac{2\sqrt{1-\smashedsin^2{\varphi}}}{\sqrt{1-2\smashedsin^2{\varphi}}}\right)}{\sqrt{1-\smashedsin^2{\varphi}}+\sqrt{1-2\smashedsin^2{\varphi}}}\,d\varphi
\end{gather*}
\end{document}

答案3

我最终梳理了重新定义，\smash并使所有函数内联且具有相同的高度。

    \let\sin\relax
    \DeclareMathOperator{\sin}{\smash{sin}}
    \let\tan\relax
    \DeclareMathOperator{\tan}{\smash{tan}}
    \let\arcsin\relax
    \DeclareMathOperator{\arcsin}{\smash{arcsin}}
    \let\arctan\relax
    \DeclareMathOperator{\arctan}{\smash{arctan}}

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