![为什么正弦的平方项高于余弦的平方项?](https://linux22.com/image/469866/%E4%B8%BA%E4%BB%80%E4%B9%88%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E7%9A%84%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%A1%B9%E9%AB%98%E4%BA%8E%E4%BD%99%E5%BC%A6%E7%9A%84%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%A1%B9%EF%BC%9F.png)
在下面的分数中, 上的正方形sin
的格式比 上的正方形高cos
:
\int\frac{-2\sin2\theta}{\sqrt{2\cos^2\theta}+\sqrt{2\sin^2\theta}}\,d\theta
正弦平方项似乎也提高了平方根的高度。
下面的公式也存在类似的问题:
\int\frac{\cos{\varphi}\left(1+\cfrac{2\sqrt{1-\sin^2{\varphi}}}{\sqrt{1-2\sin^2{\varphi}}}\right)}{\sqrt{1-\sin^2{\varphi}}+\sqrt{1-2\sin^2{\varphi}}}\,d\varphi
正弦项确实将高度提高到打印后使用大约五分之一纸张的程度。我知道我正在使用,\cfrac
但这个问题不会出现在其他地方,除非\sqrt{\sin^2\varphi}
其中有一个。
答案1
我在准备微积分讲义时也注意到了同样的问题。上标是相对于包含“sin”的整个框放置的,由于标题的原因,它比“cos”和“tan”高。我研究了删除“i”的可能性,但这对 不起作用\sqrt{\sin x}
。
因此我倾向于重新定义\cos
和\tan
使其尽可能高\sin
。如果您使用其他测角函数,可能还需要它们。
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\let\cos\relax % undefine \cos
\DeclareMathOperator{\cos}{cos\vphantom{\mathrm{i}}}
\let\tan\relax % undefine \tan
\DeclareMathOperator{\tan}{tan\vphantom{\mathrm{i}}}
\begin{document}
\begin{gather*}
\int\frac{-2\sin2\theta}{\sqrt{2\cos^2\theta}+\sqrt{2\sin^2\theta}}\,d\theta
\\[1ex]
\sqrt{\tan x}\sqrt{\sin x}\sqrt{\cos x}
\\[1ex]
\sqrt{1+\tan^2 x}\sqrt{1-\sin^2 x}\sqrt{1-\cos^2 x}
\end{gather*}
\end{document}
您可能觉得有吸引力的另一种选择是粉碎一切,并相信 TeX 有能力避免出现问题。
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\let\cos\relax % undefine \cos
\DeclareMathOperator{\cos}{cos\vphantom{\mathrm{i}}}
\let\tan\relax % undefine \tan
\DeclareMathOperator{\tan}{tan\vphantom{\mathrm{i}}}
\DeclareMathOperator{\ssin}{\vphantom{x}\smash{\mathrm{sin}}}
\DeclareMathOperator{\scos}{\vphantom{x}\smash{\mathrm{cos}}}
\DeclareMathOperator{\stan}{\vphantom{x}\smash{\mathrm{tan}}}
\begin{document}
With the \verb|\vphantom| strategy
\begin{gather*}
\int\frac{-2\sin2\theta}{\sqrt{2\cos^2\theta}+\sqrt{2\sin^2\theta}}\,d\theta
\\[1ex]
\sqrt{\tan x}\sqrt{\sin x}\sqrt{\cos x}
\\[1ex]
\sqrt{1+\tan^2 x}\sqrt{1-\sin^2 x}\sqrt{1-\cos^2 x}
\end{gather*}
With the \verb|\smash| strategy
\begin{gather*}
\int\frac{-2\ssin2\theta}{\sqrt{2\scos^2\theta}+\sqrt{2\ssin^2\theta}}\,d\theta
\\[1ex]
\sqrt{\stan x}\sqrt{\ssin x}\sqrt{\scos x}
\\[1ex]
\sqrt{1+\stan^2 x}\sqrt{1-\ssin^2 x}\sqrt{1-\scos^2 x}
\end{gather*}
\end{document}
如果你想实施这一\smash
策略,请按照以下方式实施
\let\sin\relax \let\cos\relax \let\tan\relax
\DeclareMathOperator{\sin}{\vphantom{x}\smash{\mathrm{sin}}}
\DeclareMathOperator{\cos}{\vphantom{x}\smash{\mathrm{cos}}}
\DeclareMathOperator{\tan}{\vphantom{x}\smash{\mathrm{tan}}}
答案2
正如评论中指出的那样,发生这种情况是因为“sin”比“cos”高,因为“i”的原因,所以指数略有上升。您可以随时将\smash
的高度\sin
降低到 的高度。\sin^2
\cos^2
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\DeclareMathOperator{\smashedsin}{\smash{\sin}}
\begin{document}
\begin{gather*}
\int\frac{-2\sin2\theta}{\sqrt{2\cos^2\theta}+\sqrt{2\sin^2\theta}}\,d\theta
\qquad
\int\frac{-2\sin2\theta}{\sqrt{2\cos^2\theta}+\sqrt{2\smashedsin^2\theta}}\,d\theta \\[2mm]
\int\frac{\cos{\varphi}\left(1+\cfrac{2\sqrt{1-\sin^2{\varphi}}}{\sqrt{1-2\sin^2{\varphi}}}\right)}{\sqrt{1-\sin^2{\varphi}}+\sqrt{1-2\sin^2{\varphi}}}\,d\varphi
\qquad
\int\frac{\cos{\varphi}\left(1+\cfrac{2\sqrt{1-\smashedsin^2{\varphi}}}{\sqrt{1-2\smashedsin^2{\varphi}}}\right)}{\sqrt{1-\smashedsin^2{\varphi}}+\sqrt{1-2\smashedsin^2{\varphi}}}\,d\varphi
\end{gather*}
\end{document}
答案3
我最终梳理了重新定义,\smash
并使所有函数内联且具有相同的高度。
\let\sin\relax
\DeclareMathOperator{\sin}{\smash{sin}}
\let\tan\relax
\DeclareMathOperator{\tan}{\smash{tan}}
\let\arcsin\relax
\DeclareMathOperator{\arcsin}{\smash{arcsin}}
\let\arctan\relax
\DeclareMathOperator{\arctan}{\smash{arctan}}