与数学相关的未定义序列错误

Question 1

我借此机会改进并简化了您的代码：

我不明白为什么你将公式放在center 环境中而不是使用 \[ ... \]构造。

另一点是，在我看来，在斜体文本中，枚举标签应该是向上的，这很容易通过“enumitem”获得

最后，我使用了\mfrac中的 (中等大小分数) ，这在本上下文中nccmath看起来更好。请注意必须加载\tfracnccmath前 mathtoolsamsmath，如果您加载前者，则无需加载，因为它是 amsmath 的扩展。

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{nccmath, amssymb, mathtools}
\usepackage{enumitem} 
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{corollary}{Corollary}[theorem]
\newtheorem{prop}{Proposition}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{defn}{Definition}[section]

\def\R{\mathbb{R}}

\begin{document}
\section{The intuitive Limit}

\begin{defn}
The line $x = a$ is said to be a \textit{vertical asymptote} for $f(x)$ if either of the one sided limits $x \longrightarrow a^+$ or x $\longrightarrow a^-$ is infinite; that is, if
\[ \lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = \infty,\quad\text{or} \quad\lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = - \infty \]
\end{defn}

\begin{prop}
Consider the rational function $f(x) = \mfrac{a_nx^n\, +\, \dots\, +\, a_1x\, +\, a_0}{b_mx^m\, +\, \dots\, +\, b_1x\, +\, b_0 }$.\
\begin{enumerate}[font=\upshape]
\item If $n > m$ then $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$, with the sign dependent on the sign of $a_n/b_m$
\item If $n < m$ then $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$
\item If $n = m$ then $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \dfrac{a_n}{b_m}$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\section{The Rigorous Limit}

\begin{defn}
Suppose that $c, L \in \R$ is an open interval containing $c$ If $f : I \to \R$, we say that the \textbf{limit of f as x approaches c is L}, and write
\[ \lim_{x \to c} f(x) = L, \]
if for every $\varepsilon > 0$, there exists a $\delta > 0$ such that whenever $0 < \vert x - c \rvert < \delta$ then $\lvert f(x) - l \rvert < \varepsilon$.\ In terms of quantifiers:
\[ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in \R (0 < \lvert x - c \rvert < \delta \implies \lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon). \]
\end{defn}

\end{document}

Answer

我借此机会改进并简化了您的代码：

我不明白为什么你将公式放在center 环境中而不是使用 \[ ... \]构造。

另一点是，在我看来，在斜体文本中，枚举标签应该是向上的，这很容易通过“enumitem”获得

最后，我使用了\mfrac中的 (中等大小分数) ，这在本上下文中nccmath看起来更好。请注意必须加载\tfracnccmath前 mathtoolsamsmath，如果您加载前者，则无需加载，因为它是 amsmath 的扩展。

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{nccmath, amssymb, mathtools}
\usepackage{enumitem} 
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{corollary}{Corollary}[theorem]
\newtheorem{prop}{Proposition}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{defn}{Definition}[section]

\def\R{\mathbb{R}}

\begin{document}
\section{The intuitive Limit}

\begin{defn}
The line $x = a$ is said to be a \textit{vertical asymptote} for $f(x)$ if either of the one sided limits $x \longrightarrow a^+$ or x $\longrightarrow a^-$ is infinite; that is, if
\[ \lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = \infty,\quad\text{or} \quad\lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = - \infty \]
\end{defn}

\begin{prop}
Consider the rational function $f(x) = \mfrac{a_nx^n\, +\, \dots\, +\, a_1x\, +\, a_0}{b_mx^m\, +\, \dots\, +\, b_1x\, +\, b_0 }$.\
\begin{enumerate}[font=\upshape]
\item If $n > m$ then $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$, with the sign dependent on the sign of $a_n/b_m$
\item If $n < m$ then $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$
\item If $n = m$ then $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \dfrac{a_n}{b_m}$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\section{The Rigorous Limit}

\begin{defn}
Suppose that $c, L \in \R$ is an open interval containing $c$ If $f : I \to \R$, we say that the \textbf{limit of f as x approaches c is L}, and write
\[ \lim_{x \to c} f(x) = L, \]
if for every $\varepsilon > 0$, there exists a $\delta > 0$ such that whenever $0 < \vert x - c \rvert < \delta$ then $\lvert f(x) - l \rvert < \varepsilon$.\ In terms of quantifiers:
\[ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in \R (0 < \lvert x - c \rvert < \delta \implies \lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon). \]
\end{defn}

\end{document}

Question 2

确切的错误信息是：

./doc.tex:35: Undefined control sequence.
l.35 Suppose that $c, L \in \R
                              $ is an open interval containing $c$ If $f : I...

注意后面的换行符\R。这意味着 TeX 直到都读到了\R，但之后发现这个错误时却没有读到。你可以推断未定义的控制序列是\R。事实上，它没有在你的文档中定义。定义它的一种方法是输入：

\newcommand*{\R}{\mathbb{R}}

之前\begin{document}，使用了\mathbb来自的命令amsfonts，这是由加载的包amssymb。结果\mathbb如下：

另一种方法是使用：

\newcommand*{\R}{\mathbf{R}}

\mathbf给出一个粗体 R，如下所示：

在这两种方式中，使用哪一种取决于个人喜好。还有第三种方式bm：

\newcommand*{\R}{\bm{R}}

但请注意，在这种情况下，粗体 R 将以斜体显示；我不确定在这种情况下这是否可取：

Answer