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LaTeX 中的 Erf 函数

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LaTeX 中的 Erf 函数

有没有办法轻松计算erf 函数（或者 LaTeX 中的正态律累积分布函数）？

目前，我使用pgf进行计算，但我没有找到使用来计算 erf 的方法pgf。

我很乐意使用任何可用于计算 erf 的包，或任何自定义解决方案来计算该函数。

答案1

对于精确的值，我建议外部化计算，这里gnuplot使用。

代码（需要--shell-escape启用）

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,pgfmath,pgffor}
\makeatletter
\def\qrr@split@result#1 #2\@qrr@split@result{\edef\erfInput{#1}\edef\erfResult{#2}}
\newcommand*{\gnuplotErf}[2][\jobname.eval]{%
    \immediate\write18{gnuplot -e "set print '#1'; print #2, erf(#2);"}%
    \everyeof{\noexpand}
    \edef\qrr@temp{\@@input #1 }%
    \expandafter\qrr@split@result\qrr@temp\@qrr@split@result
}
\makeatother
\DeclareMathOperator{\erf}{erf}
\begin{document}
\foreach \x in {-50,...,50}{%
\pgfmathparse{\x/50}%
\gnuplotErf{\x/50.}%
$ x = \pgfmathresult = \erfInput, \erf(x) = \erfResult$\par
}
\end{document}

输出

在此处输入图片描述

答案2

基于这个答案。

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\makeatletter
\pgfmathdeclarefunction{erf}{1}{%
  \begingroup
    \pgfmathparse{#1 > 0 ? 1 : -1}%
    \edef\sign{\pgfmathresult}%
    \pgfmathparse{abs(#1)}%
    \edef\x{\pgfmathresult}%
    \pgfmathparse{1/(1+0.3275911*\x)}%
    \edef\t{\pgfmathresult}%
    \pgfmathparse{%
      1 - (((((1.061405429*\t -1.453152027)*\t) + 1.421413741)*\t 
      -0.284496736)*\t + 0.254829592)*\t*exp(-(\x*\x))}%
    \edef\y{\pgfmathresult}%
    \pgfmathparse{(\sign)*\y}%
    \pgfmath@smuggleone\pgfmathresult%
  \endgroup
}
\makeatother
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[yscale = 3]
  \draw[very thick,->] (-5,0) -- node[at end,below] {$x$}(5,0);
  \draw[very thick,->] (0,-1) -- node[below left] {$0$} node[at end,
  left] {$erf(x)$} (0,1);
  \draw[red,thick] plot[domain=-5:5,samples=200] (\x,{erf(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{document}

在此处输入图片描述

答案3

使用与 cjorssen 的近似思想相同（我按照 Qrrbrbirlbel 的建议尝试了泰勒级数，但用这种方法几乎不可能得到像样的近似值）我重写了该函数，没有使用低级 PGF。因为这里已经有这么多 2D 图，所以我将只使用我已经拥有的 3D 图。

\documentclass{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{tikz}
\pgfplotsset{
colormap={bluewhite}{ color(0cm)=(rgb:red,18;green,64;blue,171); color(1cm)=(white)}
}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[
    declare function={erf(\x)=%
      (1+(e^(-(\x*\x))*(-265.057+abs(\x)*(-135.065+abs(\x)%
      *(-59.646+(-6.84727-0.777889*abs(\x))*abs(\x)))))%
      /(3.05259+abs(\x))^5)*(\x>0?1:-1);},
    declare function={erf2(\x,\y)=erf(\x)+erf(\y);}
]
\begin{axis}[
    small,
    colormap name=bluewhite,
    width=\textwidth,
    enlargelimits=false,
    grid=major,
    domain=-3:3,
    y domain=-3:3,
    samples=33,
    unit vector ratio*=1 1 1,
    view={20}{20},
    colorbar,
    colorbar style={
        at={(1,-.15)},
        anchor=south west,
        height=0.25*\pgfkeysvalueof{/pgfplots/parent axis height},
    }
]
\addplot3 [surf,shader=faceted] {erf2(x,y)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}

erf(x)+erf(y) 的 3D 图

近似的最大误差为 1.5·10 -7 (来源）。

谢谢杰克为了发现并修复我第一次在这段代码中遇到了错误的语法。

答案4

误差函数erf(x)计算和图形解剖（轴、图例和标签）已通过三种方法呈现。

  1. 完全gnuplot
  2. pgfplots调用gnuplot
  3. 完全Matlab

已经有一些很好的答案，例如 Qrrbrbirlbel 和 cjorssen 都在宏观层面上利用了 pgfmath。

1. 充分gnuplot

gnuplot 中的误差函数erf(x)计算，轴、图例和标签在 gnuplotepslatex终端中呈现。gnuplot 终端输出自动嵌入格努普特克斯包。terminal=pdf不呈现数学标签，因此epslatex使用终端。

\documentclass[preview=true,12pt]{standalone}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{gnuplottex}
\begin{document} 
\begin{gnuplot}[terminal=epslatex,terminaloptions=color]
  set grid
  set size square
  set key left 
  set title 'Error function in gnuplot  $ erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\, dt$'
  set samples 50
  set xlabel "$x$"
  set ylabel "$erf(x)$"
  plot [-3:3] [-1:1] erf(x) title 'gnuplot' linetype 1 linewidth 3
\end{gnuplot}
\end{document}

1）gnuplot输出图 在此处输入图片描述

2.pgfplots调用gnuplot

gnuplot 中的误差函数erf(x)计算由 pgfplots 调用，轴、图例、标签由 pgfplots 呈现

\documentclass[preview=true,12pt]{standalone}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.8}
\begin{document} 
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xlabel=$x$,ylabel=$erf(x)$,title= {Error function in pgfplots $erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\, dt$},legend style={draw=none},legend pos=north west,grid=major,enlargelimits=false]
\addplot [domain=-3:3,samples=50,red,no markers] gnuplot[id=erf]{erf(x)};
% Note: \addplot function { gnuplot code } is alias for \addplot gnuplot { gnuplot code };
\legend{pgfplots-gnuplot}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}

2. pgfplots（gnuplot后端）输出图

在此处输入图片描述

3）完全Matlab

在 Matlab 中计算误差函数 $erf(x)$，其中轴、图例、标签使用以下方式呈现矩阵碎片（基于 psfrag 标签）和mlf2pdf功能。

笔记：与上述方法不同，字体在 PDF 图中被冻结，但可以mlf2pdf.m在生成之前进行更改。

** erf(x)Matlab 脚本使用 mlf2pdf（matlabfrag 作为后端）生成 pdf **

clear all
clc
% Plotting section
    set(0,'DefaultFigureColor','w','DefaultTextFontName','Times','DefaultTextFontSize',12,'DefaultTextFontWeight','bold','DefaultAxesFontName','Times','DefaultAxesFontSize',12,'DefaultAxesFontWeight','bold','DefaultLineLineWidth',2,'DefaultLineMarkerSize',8);

% x and y data
x=linspace(-3,3,50);
y=erf(x);

figure(1);plot(x,y,'r');
grid on
axis([-3 3 -1 1]);
xlabel('$x$','Interpreter','none');
ylabel('$erf(x)$','Interpreter','none');
legend('Matlab');legend('boxoff');
title('Error function in Matlab $erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\, dt$','Interpreter','none');
mlf2pdf(gcf,'error-func-fig');

3. 输出图 在此处输入图片描述

gnuplot 4.4，pgfplots 1.8以及pdflatex -shell-escape发动机均被使用。

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