提高垂直标准——多项式除法

Question

我尝试使用多种方法来创建多项式长除法，例如：

如何绘制多项式除法？

使用多项式的多项式长除法

显示长除法的更好方法？

收效甚微。所以我尝试了一种简单的方法，如图所示，效果很好，但是垂直条的\big|间距太小了。如果可能的话，我希望它向上移动，最好能碰到水平长除法条。

我怎样才能做到这一点？

\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage[normalem]{ulem}

\begin{document}
\begin{equation*}
\begin{split}
&\uline{x^4  + \theta x^3 + \theta^2x^2 + \theta^3x + \theta^4}\\
x - \theta \ \big| & x^5 -2\\
& \uline{x^5 - \theta x^4} \\
& \theta x^4 - 2\\
& \uline{\theta x^4 - \theta^2x^3}\\
& \theta^2x^3 - 2\\
& \uline{\theta^2x^3 - \theta^3x^2}\\
& \theta^3x^2 - 2\\
&\uline{\theta^3x^2 - \theta^4x}\\
& \theta^4x - 2\\
& \uline{\theta^4x - \theta^5}\\
& \theta^5 - 2  \ \ \ \ \ \ \ \ \ =  \ \ \ 0
\end{split}
\end{equation*}

\end{document}

其结果为：

Answer 1

我建议采用以下布局之一，基于array、alignedat和booktabs：

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{array}
\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage{booktabs}

\begin{document}

\begin{equation*}\setlength\extrarowheight{3pt}
  \begin{array}{rl}
    & x⁴ + θx³ + \theta²x² + \theta³x + \theta⁴ \\
    \cmidrule(r{4em}){2-2}\addlinespace[-\dimexpr\belowrulesep + \cmidrulewidth]
    \multicolumn{1}{r!{\rule[-2ex]{0.4pt}{5ex}}}{x - θ} & \begin{alignedat}[t]{8}
      & \phantom{-}x⁵ & & & & & & & & & {} - {} & 2 \\%[1ex]
    &{-} x⁵ + {}& & θx⁴ \\
    \cmidrule(r{3.5em}){1-12}
      & & & θx⁴ & & & & & & & {}-{} & 2 \\
    & &- & θx⁴ & {} + {}&\theta²x³\\
    \cmidrule(r{3.5em}){3-12}
      & & & & & \theta²x³ & & & & & {}-{} & 2 \\
    & & & &- & \theta²x³ & {} + {} & \theta³x²\\
    \cmidrule(l{0.5em}r{3.5em}){5-12}
      & & & & & & & \theta³x² & & & {}-{} & 2 \\
    & & & & & & -&\theta³x² & {} + {} & \theta⁴x\\
    \cmidrule(l{0.5em}r{3.5em}){7-12}
      & & & & & & & & & \theta⁴x & {}-{} & 2 \\
      & & & & & & & & & \theta⁴x & {}-{} & \theta⁵ \\
    \cmidrule(l{1em}r{3.5em}){9-12}
      & & & & & & & & & & & \theta⁵ - 2 = 0
    \end{alignedat}
  \end{array}
\end{equation*}

\begin{equation*}\setlength\extrarowheight{3pt}
  \begin{array}{rl}
    & x⁴ + θx³ + \theta²x² + \theta³x + \theta⁴ \\
    \cmidrule(r{7.5em}){2-2}\addlinespace[-\dimexpr\belowrulesep + \cmidrulewidth]
    \multicolumn{1}{r|}{x - θ} &
    \phantom{-}x⁵ - 2\\[1ex]
    & \begin{alignedat}[t]{8}
    -&x⁵ &{}+{} & θx⁴ \\
    \cmidrule(r{1em}){1-6}
    & & & θx⁴ & {}-{} & 2\\
    & & -& θx⁴ & {} + {}&\theta²x³\\
    \cmidrule(lr{1em}){3-8}
    & & & & & \theta²x³ & {}-{} & 2\\
    & & & &- & \theta²x³ & {} + {} & \theta³x²\\
    \cmidrule(lr{0.5em}){5-10}
    & & & & & & & \theta³x² & {} - {} & 2\\
    & & & & & & - &\theta³x² & {} + {} & \theta⁴x\\
    \cmidrule(lr{3.5em}){7-12}
      & & & & & & & & & \theta⁴x & {}-{} & 2 \\
      & & & & & & & & - & \theta⁴x & {} + {} & \theta⁵ \\
    \cmidrule(l{-0.5em}r{1.5em}){12-12}
      & & & & & & & & & & & \theta⁵ - 2 = 0
    \end{alignedat}
  \end{array}
\end{equation*}

\end{document} 

Answer 2

如果将单项式项对齐，多项式除法会（至少有时）更清晰，因此这里我取每个单项式的三个单元格r作为系数、l幂x和c二元运算符。

接触线是通过该段来实现的\vline，该段是 Latex 通常用于表格中的垂直规则，如|数组或表格序言中指定的。

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{array}
\usepackage[fleqn]{amsmath}


\begin{document}

\begin{equation*}
\setlength\arraycolsep{0pt}
\setlength\extrarowheight{2pt}
\begin{array}{r@{\;}c@{\;}*{10}{rl>{{}}c<{{}}}}
&&&&&&x^4&  +& \theta&x^3& +& \theta^2&x^2& +& \theta^3&x& +& \theta^4\\
\cline{2-18}
x - \theta &\vline& &x^5 &-&&&&&&&&&&&&&2\\
&& &x^5 &-& \theta &x^4 \\
\cline{3-18}
&&&&& \theta &x^4 &-&&&&&&&&&& 2\\
&&&&& \theta &x^4 &-& \theta^2&x^3\\
\cline{6-18}
&&&&&&&& \theta^2&x^3 &-& &&&&&&2\\
&&&&&&&& \theta^2&x^3 &-& \theta^3&x^2\\
\cline{9-18}
&&&&&&&&&&& \theta^3&x^2 &-&&&& 2\\
&&&&&&&&&&&\theta^3&x^2 &-& \theta^4&x\\
\cline{12-18}
&&&&&&&&&&&&&& \theta^4&x &-& 2\\
&&&&&&&&&&&&&& \theta^4&x &-& \theta^5\\
\cline{15-18}
&&&&&&&&&&&&&&&&& \theta^5 -2  &=  0
\end{array}
\end{equation*}

\end{document}

Answer 3

使用 \tabluar、\vline 和 \cline，这是多项式除法 x[n]=[1,-1,0,0,0,0,-1,1] / x_1[n]=[1,1,1,1,1,1] 的另一个示例，其中序列对应于多项式 x[n] 和 x_1[n] 的系数。列的大小为 (p{0.15cm})，以便 \vline 可以正确连接到顶部和底部行。这里使用 \tiny 字体使其适合 2 列纸张中的一列，如果使用更大的字体，列大小应从 p{0.15cm} 增加。此方法还可用于使用长除法编写反卷积或逆 Z 变换。我希望有人觉得它有用。

{\tiny
\begin{center}
\begin{tabular}{p{0.15cm}p{0.15cm}p{0.15cm}p{0.15cm}p{0.15cm}p{0.1cm}p{0.1cm}p{0.15cm}p{0.15cm}p{0.15cm}p{0.15cm}p{0.15cm}p{0.15cm}p{0.15cm}p{0.15cm}}
  &   &   &   &   &   & 1 & -2  & 1 &   &   &   &   & \\\cline{7-14}
 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & $1 \ \ \ \ \ \ \vline$ & 1 & -1 & 0  & 0  & 0  & 0  & 1  & 1\\\cline{1-6}
    &   &   &   &   &   & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &  1 &   & \\\cline{7-14}
    &   &   &   &   &   &   & -2 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & \\
    &   &   &   &   &   &   & -2 & -2 & -2 & -2 & -2 & -2 & \\\cline{8-14}
    &   &   &   &   &   &   &   & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
    &   &   &   &   &   &   &   & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\cline{9-14}
    &   &   &   &   &   &   &   & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\   
\end{tabular}
\end{center}
}