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由相交球体构成的圆圈

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由相交球体构成的圆圈

我正在尝试绘制如下所示的图表：

  • 2 个相交球体，中心为 x 和 y
  • 中点为 (x+y)/2，从任一中心到中点为 d/2
  • 从中心到交点的距离为 r

我想证明两个球面的所有交点都位于一个垂直于连线中点的平面上，该平面过中点，并且两个球面的所有交点构成一个圆。

现在，如果我只是将其制作成 2D（而不是使用 paint，我会使用 tikz），我实际上可以做到这一点，但我想知道是否可以将其制作成 3D 而不会显得太忙乱。

1

到目前为止，在薛定谔的猫的帮助下，我已经得到了这个（但我会继续努力，因为这是我尝试制作的第一个 3d tikz）：

\documentclass[tikz,border=3mm]{standalone} \usepackage{tikz-3dplot-circleofsphere} 
\begin{document} 
\tdplotsetmaincoords{70}{200}
\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords,declare function={d=4;R=2.5;}]
\path (0,0,0) coordinate (x) (d,0,0) coordinate (y);
\begin{scope}[tdplot_screen_coords] 
\path[ball color=blue,opacity=0.3] (x) circle[radius=R*1cm]; 
\path[ball color=blue,opacity=1.0] (x) circle[radius=R*0.02cm]; 
\path[ball color=red,opacity=0.3] (y) circle[radius=R*1cm]; 
\path[ball color=red,opacity=1.0] (y) circle[radius=R*0.02cm]; 
\node(draw) at (0.5,0,0) {y};
\node(draw) at (-4.2,0.5,0) {x};
\node(draw) at (-1.8,2,0) {z};
\draw[black, ultra thick] (x) -- (y);
\draw[blue, ultra thick] (x) -- (-1.7,1.7);
\draw[red, ultra thick] (y) -- (-1.7,1.7);
\end{scope} 
\tdplotCsDrawCircle[tdplotCsFront/.style={thick}]{R}{0}{90}{90-atan2(sqrt(R*R-d*d/4),d/2)} 
\end{tikzpicture} 
\end{document}

答案1

这是我拼写出来的评论，其中有一些类似于您自己添加的附加成分。此代码依赖于tikz-3dplot-circleofsphere，可在以下位置找到这里。

\documentclass[tikz,border=3mm]{standalone} 
\usepackage{tikz-3dplot-circleofsphere} 
\begin{document} 
\tdplotsetmaincoords{70}{200}
\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords,declare function={d=4;R=2.5;}]
  \path (0,0,0) coordinate[label=right:$x$] (x) 
      (d,0,0) coordinate[label=left:$y$] (y)
      (d/2,0,{sqrt(R*R-d*d/4)}) coordinate[label=above:$z$] (z);
  \draw[black, ultra thick] (y) -- (d/2,0,0);
  \draw[red, ultra thick] (y) -- (z);   
  \tdplotCsDrawCircle[tdplotCsFront/.style={draw=none,fill=gray,fill opacity=0.7},
      tdplotCsBack/.style={thin,gray,fill=gray,fill opacity=0.7}]{R}{0}{90}{90-atan2(sqrt(R*R-d*d/4),d/2)} 
  \draw[black, ultra thick] (x) -- (d/2,0,0);
  \draw[blue, ultra thick] (x) -- (z);
  \fill foreach \X in {x,y,z} {(\X) circle[radius=1.2pt]};
  \begin{scope}[tdplot_screen_coords] 
    \path[ball color=blue,opacity=0.6] (x) circle[radius=R*1cm]; 
    \path[ball color=red,opacity=0.6] (y) circle[radius=R*1cm]; 
  \end{scope} 
  \tdplotCsDrawCircle[tdplotCsFront/.style={thick},
      tdplotCsBack/.style={draw=none}]{R}{0}{90}{90-atan2(sqrt(R*R-d*d/4),d/2)} 
\end{tikzpicture} 
\end{document}

在此处输入图片描述

答案2

这不是答案。我想展示如何根据在这里回答。

我选择两个球体，它们有方程(x - 3)^2 + (y + 4)^2 + z^2 = 64和(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 8)^2 = 36。我的代码

\documentclass[tikz,border=2mm, 12 pt]{standalone}
\usepackage{tikz-3dplot-circleofsphere}
\usetikzlibrary{3dtools} 
\begin{document}
\tdplotsetmaincoords{70}{100}
\begin{tikzpicture}[scale=1,tdplot_main_coords,declare function={R=8;R1=6;
}]
\path (3,-4,8) coordinate (A)
({(9-sqrt(95))/3},8/3,3) coordinate (B)
({(9+sqrt(95))/3},8/3,3) coordinate (C)
(3,2,8) coordinate (T)
(3,-4,0) coordinate (I);
\begin{scope}[tdplot_screen_coords]
 \fill[ball color=red,opacity=0.6] (I) circle (R);
 \fill[ball color=green!50, opacity=1.0] (T) circle (R1);
\end{scope}
\foreach \p in {A,B,C,I,T}
\draw[fill=black] (\p) circle (1.5pt);
\foreach \p/\g in {A/90,C/-90,B/-90,I/-90,T/90}
\path (\p)+(\g:3mm) node{$\p$};
\pic[draw=none]{3d circle through 3 points={A={(A)},B={(B)},C={(C)}}};
\begin{scope}[shift={(T)}]
\path[overlay] [3d coordinate={(myn)=(A)-(B)x(A)-(C)},
3d coordinate={(A-M)=(A)-(M)}];
\pgfmathsetmacro{\myaxisangles}{axisangles("(myn)")}
\pgfmathsetmacro{\myalpha}{{\myaxisangles}[0]}
\pgfmathsetmacro{\mybeta}{{\myaxisangles}[1]}
\pgfmathsetmacro{\mygamma}{acos(sqrt(TD("(A-M)o(A-M)"))/R1)}
\tdplotCsDrawCircle[tdplotCsFront/.style={thick,red}]{R1}{\myalpha}{\mybeta}{\mygamma}  
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

在此处输入图片描述

答案3

这是当 2 个半径可能不同时，一般情况的解决方案。首先，我们按照平面图计算

在此处输入图片描述

// http://asymptote.ualberta.ca/
usepackage("ragged2e"); // for justify command
usepackage("amsmath");
unitsize(7mm);
real r=4.2, s=3; // two radii
real c=5;     // distance of two centers
pair A=(0,0), B=c*dir(0);   //two centers 
pair M=intersectionpoints(circle(A,r),circle(B,s))[0];
real dAH=(c^2+r^2-s^2)/(2*c);
real h=sqrt(r^2-dAH^2);
pair H=A+dAH*unit(B-A);
draw(Label("$h$",align=W),M--H,magenta);
draw(Label("$r$",align=NW),A--M,red);
draw(Label("$s$",align=NE),B--M,blue);

draw(circle(A,r),red);
draw(circle(B,s),blue);

dot(H^^M,magenta);

dot("$A$",A,SW);
dot("$B$",B,SE);
label("$M$",M+.5dir(80),magenta);
label("$H$",H,S,magenta);
draw(Label("$c$"),A--B);

string explanation=minipage("\justify{
By the law of cosines for the triangle $AMH$, we have
$$AH=r \cos A=\dfrac{c^2+r^2-s^2}{2c}.$$
Hence, the radius of the intersecting circle is
$$h=\sqrt{r^2-AH^2}.$$
}",7cm);
label(explanation,point(E)+(6,0),Fill(3mm,lightyellow));

shipout(bbox(5mm,invisible));

现在事物被转化为3D，不同于https://tex.stackexchange.com/a/121900/140722. 模块graph3是为了提高相交圆的精度Circle(H,h,normal=B-A)。

在此处输入图片描述

// http://asymptote.ualberta.ca/ 
unitsize(1cm);
//import math;
//import three;
import graph3; // implicitly import math and three;

real r=3.5, s=4; // two radii
real c=5;     // distance of two centers
triple A=(0,0,0), B=c*dir(90,90);   //two centers 
surface sphAr=shift(A)*scale3(r)*unitsphere;
surface sphBs=shift(B)*scale3(s)*unitsphere;

draw(sphAr,red+opacity(.2));
draw(sphBs,blue+opacity(.2));
real dAH=(c^2+r^2-s^2)/(2*c);
real h=sqrt(r^2-dAH^2);
triple H=A+dAH*unit(B-A);
draw(Circle(H,h,normal=B-A),magenta+1pt);
dot(H,magenta);

dot("$A$",A,W);
dot("$B$",B);
draw(A--B);
//axes3("$x$","$y$","$z$");

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