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%Fin de configuracion para MATLAB CODE
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\author{J.Leonardo}
\title{Laboratorio 1}
\begin{document}
\include{caratula}
\pagebreak
\begin{enumerate}
\item \textbf{Sistema de ecuaciones Método del Punto Fijo y Método de Newton}
\noindent
\begin{enumerate}[label=\alph{*}),leftmargin=0pt,itemindent=15pt]
\item Sea $\textit{D} = \lbrace(x,y) \in \mathbb{R}^2 \setminus 0\leq x\leq2, 0\leq y\leq2\rbrace $ . Sea $G = (g_{1},g_{2}) : D\rightarrow D$ una contracción con:\\
\vspace{5mm} \ \\
$g_{1}(x,y)=\dfrac{x^2\hspace{1mm} + 3y^2\hspace{1mm} + 24}{20},g_{2}(x,y)=\dfrac{x^3\hspace{1mm} + x\cdot y^{2}\hspace{1mm} + 64}{40}$ \par
\vspace{3mm} \ \\
Si se cumple que $\Vert JG(x,y) \Vert < \lambda < 1.$
Calcule el valor de $\lambda.$\par
Sea $x_{0}=0$ , $y_{0}=0$ , el punto inicial luego defina $x_{n+1}=g_{1}(x_{n},y_{n})$ , $y_{n+1}=g_{2}(x_{n},y_{n})$ como la iteración del punto fijo , que resuelve el sistema $g_{1}(x,y)=x$ , $g_{2}(x,y)=y$.\par
Calcule el número de iteraciones $n$ para alcanzar un error menor a 5 cifras decimales (Tol $<10^{-6}$)\\
\\\textbf{\textit{Solución}}\\
\\Sea $D=[0,2] \times [0,2] $ , veamos si $g_{1}(x,y)$ esta bien definida:
\begin{center}
$g_{1}(x,y)=\dfrac{x^2\hspace{1mm} + 3y^2\hspace{1mm} + 24}{20} \leq \dfrac{2^2\hspace{1mm} + 3(2^2)\hspace{1mm} + 24}{20} $\par
\vspace{1mm}
$\dfrac{x^2\hspace{1mm} + 3y^2\hspace{1mm} + 24}{20} \leq 2$
\end{center}
Igualmente:
\begin{center}
$g_{1}(x,y)=\dfrac{x^2\hspace{1mm} + 3y^2\hspace{1mm} + 24}{20} \geq \dfrac{0^2\hspace{1mm} + 3(0^2)\hspace{1mm} + 24}{20} $\par
\vspace{1mm}
$\dfrac{x^2\hspace{1mm} + 3y^2\hspace{1mm} + 24}{20} \geq \dfrac{24}{20} > 0$
\end{center}
\vspace{1mm}
Como $0<g_{1}(x,y)\leq 2$ entonces $g_{1}(x,y) \in [0,2]$, decimos que $g_{1}(x,y)$ esta bien definida.\\
Sea $D=[0,2] \times [0,2] $ , veamos si $g_{2}(x,y)$ esta bien definida:
\begin{center}
$g_{2}(x,y)=\dfrac{x^3\hspace{1mm} + x\cdot y^{2}\hspace{1mm} + 64}{40} \leq \dfrac{2^3\hspace{1mm} + 2\cdot 2^{2}\hspace{1mm} + 64}{40} $\par
\vspace{1mm}
$\dfrac{x^3\hspace{1mm} + x\cdot y^{2}\hspace{1mm} + 64}{40} \leq 2$
\end{center}
Igualmente:
\begin{center}
$g_{2}(x,y)=\dfrac{x^3\hspace{1mm} + x\cdot y^{2}\hspace{1mm} + 64}{40} \geq \dfrac{0^3\hspace{1mm} + 0\cdot 0^{2}\hspace{1mm} + 64}{40} $\par
\vspace{1mm}
$ \dfrac{x^3\hspace{1mm} + x\cdot y^{2}\hspace{1mm} + 64}{40} \geq \dfrac{64}{40} > 0$
\end{center}
\vspace{1mm}
Como $0<g_{2}(x,y)\leq 2$ entonces $g_{2}(x,y) \in [0,2]$, decimos que $g_{2}(x,y)$ esta bien definida.\\
\\Ahora veamos si $D$ es una contracción
\[
\mathbf{JG} =
\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial g_1}{\partial x} &
\dfrac{\partial g_1}{\partial y} \\[2ex] % <-- 1ex more space between rows of matrix
\dfrac{\partial g_2}{\partial x} &
\dfrac{\partial g_2}{\partial y} \\[2ex]
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\dfrac{x}{10}&
\dfrac{3y}{10} \\[2ex] % <-- 1ex more space between rows of matrix
\dfrac{3x^{2}+y^{2}}{40} &
\dfrac{x\cdot y}{20} \\[2ex]
\end{bmatrix}
\]
\newpage
\vspace{8mm} \ \\
\begin{center}
$\Vert JH(x,y) \Vert_{\infty} = MAX(\dfrac{x}{10} +\dfrac{3y}{10} ; \dfrac{3x^{2}+y^{2}}{40} + \dfrac{x\cdot y}{20} )\leq MAX(\dfrac{2}{10} +\dfrac{3\cdot 2}{10} ; \dfrac{3\cdot 2^{2}+2^{2}}{40} + \dfrac{2\cdot 2}{20} ) $
\vspace{8mm} \ \\
$\Vert JH(x,y) \Vert_{\infty}\leq MAX ( 0.8 ; 0.6) $
\vspace{8mm} \ \\
$\Vert JH(x,y) \Vert_{\infty}\leq 0.8 \leq 1$\\
\vspace{3mm} \ \\
Entonces $\lambda = 0.8$
\end{center}
Ahora hallaremos el número de iteraciones:\\
\begin{center}
$n = \dfrac{\log \dfrac{(1-\lambda)\cdot T}{\Vert Z_{1}-Z_{0} \Vert_{\infty}}}{\log \lambda}$
\vspace{8mm} \ \\
$Z_{n+1} =(g_{1}(x_{n},y_{n}); g_{2}(x_{n},y_{n} ) = (x_{n+1}, y_{n+1})$
\vspace{8mm} \ \\
$Z_{1} =(g_{1}(0,0); g_{2}(0,0 ) = (x_{1}, y_{1})=(\dfrac{6}{5},\dfrac{8}{5})$
\vspace{8mm} \ \\
$\Vert Z_{1}-Z_{0} \Vert_{\infty} = \Vert( \dfrac{6}{5},\dfrac{8}{5})-(0,0)\Vert_{\infty}=MAX( \dfrac{6}{5},\dfrac{8}{5})=\dfrac{8}{5} = 1,6$
\vspace{8mm} \ \\
\end{center}
Tenemos $\lambda = 0.8$ y $T = 10^{-6}$ entonces reemplazamos todos los datos en la formula de $n$:
\vspace{4mm} \ \\
\begin{center}
$n = \dfrac{\log \dfrac{(1-0.8)\cdot 10^{-6}}{1.6}}{\log 0.8}= 71.232$
\vspace{4mm} \ \\
$n\geq 72$
\vspace{4mm} \ \\
$n_{min}=72$
\end{center}
\vspace{6mm} \ \\
\newpage
\item Implemente un algoritmo en Matlab que permita calcular la solución del sistema del inciso (a) con 6 cifras decimales exactas por el método del Punto Fijo. Calcule el número mínimo de iteraciones necesarias con la condición de parada en dicho algoritmo y compare con el valor encontrado en (a). Muestre el algoritmo y los resultados de la ejecución del algoritmo mediante una tabla detallada.
\vspace{3mm} \ \\
\\\textbf{\textit{Solución}}\\
\\Implementaremos un algoritmo en Matlab que nos permita alcular la solución del sistema del inciso (a) con 6 cifras decimales exactas por el método del Punto Fijo \\
\\\textbf{\textit{Código de Matlab}}
\lstinputlisting[ language=Octave,lastline=28]{MetodoPuntoFijo1.m}
\textbf{\textit{Salida de Matlab}}
\begin{lstlisting}
Método del Punto Fijo
Sistemas no lineales x=(x^(2)+3*y^(2)+24)/20 e y=(x^(3)+x*y^(2)+64)/40
Iteracion Xn Yn f1(x,y) f2(x,y)
0 0.000000000 0.000000000 1.200000000 1.600000000
1 1.200000000 1.600000000 1.656000000 1.720000000
2 1.656000000 1.720000000 1.780876800 1.836010470
3 1.780876800 1.836010470 1.864216276 1.891282730
4 1.864216276 1.891282730 1.910307671 1.928673106
5 1.910307671 1.928673106 1.940430762 1.951929074
6 1.940430762 1.951929074 1.959767644 1.967483564
7 1.959767644 1.967483564 1.972683197 1.977827562
8 1.972683197 1.977827562 1.981344230 1.984835026
9 1.981344230 1.984835026 1.987221760 1.989596423
10 1.987221760 1.989596423 1.991226605 1.992851100
11 1.991226605 1.992851100 1.993967496 1.995081207
12 1.993967496 1.995081207 1.995847672 1.996612866
13 1.995847672 1.996612866 1.997139837 1.997666206
14 1.997139837 1.997666206 1.998028917 1.998391342
15 1.998028917 1.998391342 1.998641171 1.998890864
16 1.998641171 1.998890864 1.999063029 1.999235130
17 1.999063029 1.999235130 1.999353816 1.999472470
18 1.999353816 1.999472470 1.999554308 1.999636131
19 1.999554308 1.999636131 1.999692570 1.999749002
20 1.999692570 1.999749002 1.999787929 1.999826853
21 1.999787929 1.999826853 1.999853705 1.999880554
22 1.999853705 1.999880554 1.999899077 1.999917598
23 1.999899077 1.999917598 1.999930376 1.999943153
24 1.999930376 1.999943153 1.999951968 1.999960782
25 1.999951968 1.999960782 1.999966863 1.999972944
26 1.999966863 1.999972944 1.999977139 1.999981334
27 1.999977139 1.999981334 1.999984229 1.999987123
28 1.999984229 1.999987123 1.999989119 1.999991116
29 1.999989119 1.999991116 1.999992494 1.999993871
30 1.999992494 1.999993871 1.999994821 1.999995772
31 1.999994821 1.999995772 1.999996427 1.999997083
32 1.999996427 1.999997083 1.999997535 1.999997987
33 1.999997535 1.999997987 1.999998300 1.999998612
El numero mínimo de iteraciones es: 34
\end{lstlisting}
\vspace{3mm} \ \\
Como podemos ver, con nuestro programa en Matlab el número de iteraciones es 34 mientras que en el inciso (a) la fórmula nos dio como estimación 72 iteraciones, con lo cual se ve que la fórmula no es precisa y es solo una acotación que sirve de guía.
\vspace{5mm} \ \\
\item Al resolver el sistema siguiente por el método de Newton-Raphson:
\vspace{5mm} \ \\
$f_{1}(x,y)= x^{2}-y-3=0 , f_{2}(x,y)= x + exp(y) -4 =0\hspace{2mm} ,\hspace{2mm} F =(f_{1}, f_{2})$\\
\vspace{2mm} \ \\
Obtenemos una sucesión recurrente $z_{n} = ( x_{n},y_{n})\hspace{2mm}$, definida por:
\begin{center}
$z_{n+1}=\hspace{2mm} z_{n} - ((JF)^{-1}\cdot F)(z_{n})$
\end{center}
Luego:
\begin{center}
$x_{n+1}=A(x_{n},y_{n}) , y_{n+1}=B(x_{n},y_{n})$
\end{center}
\vspace{2mm} \ \\
Encuentre las funciones $A$ y $B$ en términos de $x,y$.
\vspace{3mm} \ \\
\\\textbf{\textit{Solución}}\\
\\Sean:
\begin{center}
$f_{1}(x,y)= x^{2}-y-3\hspace{2mm} \wedge\hspace{2mm} f_{2}(x,y)= x + exp(y) -4 $\\
\vspace{2mm} \ \\
\end{center}
De la sucesión recurrente $z_{n+1}=( x_{n+1},y_{n+1})$ y $z_{n}=( x_{n},y_{n}) $
\[
\mathbf{JF}_{(x,y)} =
\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x} &
\dfrac{\partial f_1}{\partial y} \\[2ex] % <-- 1ex more space between rows of matrix
\dfrac{\partial f_2}{\partial x} &
\dfrac{\partial f_2}{\partial y} \\[2ex]
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2x&
-1 \\[2ex] % <-- 1ex more space between rows of matrix
1 &
e^{y} \\[2ex]
\end{bmatrix}
\]
\newpage
\vspace{2mm} \ \\
Calculamos la Matriz Inversa del Jacobiano
\[
\mathbf{(JF)}_{(x,y)}^{-1} =
\begin{bmatrix}
\dfrac{e^{y}}{2x\cdot e^{y}+ 1} &
\dfrac{1}{2x\cdot e^{y}+ 1} \\[2ex] % <-- 1ex more space between rows of matrix
\dfrac{-1}{2x\cdot e^{y}+ 1} &
\dfrac{2x}{2x\cdot e^{y}+ 1} \\[2ex]
\end{bmatrix}
\]
\[
\begin{bmatrix}
x_{n+1} & \\[2ex]
y_{n+1} \\[2ex]
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x_{n} & \\[2ex]
y_{n} \\[2ex]
\end{bmatrix}
-
\mathbf{(JF)}_{(x,y)}^{-1} \cdot
\begin{bmatrix}
f_{1}(x,y) & \\[2ex]
f_{2}(x,y)\\[2ex]
\end{bmatrix}
\]
\[
\begin{bmatrix}
x_{n+1} & \\[2ex]
y_{n+1} \\[2ex]
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\dfrac{e^{-y_{n}}\cdot(4(y_{n}+2)\cdot e^{2y_{n}}+16\cdot e^{y_{n}} +1)}{4\cdot (2\cdot x_{n}\cdot e^{y_{n}}+1)} + \dfrac{x_{n}}{2}- \dfrac{e^{-y_{n}}}{4} & \\[2ex]
\dfrac{-e^{-2y_{n}}\cdot(4(y_{n}+2)\cdot e^{2y_{n}}+16\cdot e^{y_{n}} +1)}{4\cdot (2x_{n}\cdot e^{y_{n}}+1)} -\dfrac{x_{n}\cdot e^{-y_{n} }}{2}+\dfrac{(16\cdot e^{y_{n}}+1)\cdot e^{-2y_{n}}}{4} + y_{n}-1\\[2ex]
\end{bmatrix}
\]
我怎样才能将矩阵的右括号放在左边，因为它几乎在表格的末尾，请看图片和代码。
答案1
删除环境\cdot中的 14 条指令和不必要的第二列bmatrix就可以完成工作了。
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%% Note that I've streamlined both the preamble and the body of your
%% test document.
\usepackage[utf8]{inputenc} % 'latin1' -- are you serious?
\usepackage[T1]{fontenc} % <-- new
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage{amsmath}
%%\usepackage{amsfonts} % is loaded automatically by 'amssymb' package
\usepackage{amssymb}
%%\usepackage{enumerate} % don't load both 'enumerate' and 'enumitem'
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\begin{document}
\[
\begin{bmatrix}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\dfrac{e^{-y_{n}}(4(y_{n}+2) e^{2y_{n}}+16 e^{y_{n}} +1)}{4 (2 x_{n} e^{y_{n}}+1)}
+ \dfrac{x_{n}}{2} - \dfrac{e^{-y_{n}}}{4} \\[2ex]
\dfrac{-e^{-2y_{n}}(4(y_{n}+2) e^{2y_{n}}+16 e^{y_{n}} +1)}{4 (2x_{n} e^{y_{n}}+1)}
- \dfrac{x_{n} e^{-y_{n} }}{2} + \dfrac{(16 e^{y_{n}}+1) e^{-2y_{n}}}{4}
+ y_{n}-1
\end{bmatrix}
\]
\end{document}