二元函数的梯度场

Question

最初我得到的是类似这样的结果，其中有一个半球，下面是梯度场。但我无法让边缘一直向下并环视四周。我总是遇到计算问题，而且总是被困在一个八分圆上。

\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{tikz-3dplot}
\usepackage{pgfplots}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[
    width=15cm,
    view={-30}{-20},
    domain=0.001:0.7,
    y domain=0.001:0.7,
    samples=20
    ]
      \addplot3[blue,/pgfplots/quiver,
        quiver/u=-x/(-x^2-y^2+1)^(-1/2),
        quiver/v=-y/(-x^2-y^2+1)^(-1/2),
        quiver/w=0,
        quiver/scale arrows=0.2,
        -stealth,samples=10] {0};
      \addplot3[surf,opacity=0.3] {(1-x^2-y^2)^(1/2)};
    \end{axis}
\end{tikzpicture}

\end{document}

理想情况下，我想使输出像这个 geogebra 小程序一样：https://www.geogebra.org/m/QhfcuhqA（我可以在其中绘制表面以及绘制下面的梯度场）我的目标是与这个半球进行某种合并，下面是梯度场。如果我可以只输入圆锥或双曲抛物面的函数，它就会给我表面下面的梯度场，那将是一个梦想，但如果手动完成也可以。

\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{tikz-3dplot}
\usepackage{pgfplots}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \begin{axis}
  [  samples=50,domain=0:360,y domain=0:90,
      xmin=-1.2,xmax=1.2,ymin=-1.2,ymax=1.2,zmin=0,zmax=1.2]
    \addplot3[surf,opacity=0.3]
    ({cos(x)*cos(y)}, {sin(x)*cos(y)}, {sin(y)});
  \end{axis}
\end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}
      \begin{axis}[
    view={-30}{-20},
    domain=0.001:0.7,
    y domain=0.001:0.7,
    samples=20
    ]
      \addplot3[blue,/pgfplots/quiver,
        quiver/u=-x/(-x^2-y^2+1)^(-1/2),
        quiver/v=-y/(-x^2-y^2+1)^(-1/2),
        quiver/w=0,
        quiver/scale arrows=0.2,
        -stealth,samples=10] {0};
    \end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Answer 1

\documentclass[tikz, border=1cm]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis} [xmin=-1.2,xmax=1.2,ymin=-1.2,ymax=1.2,zmin=0,zmax=1.2]
    \addplot3[surf,opacity=0.3, samples=50,domain=0:360,y domain=0:90]
      ({cos(x)*cos(y)}, {sin(x)*cos(y)}, {sin(y)});
  \addplot3[blue,
  domain=-1:1, y domain=-1:1,
  unbounded coords=discard,
  samples=21,
  quiver={every arrow/.append style={-{Latex[length=1.5pt]}}},
  quiver/u=-x/(-x^2-y^2+1)^(-1/2),
  quiver/v=-y/(-x^2-y^2+1)^(-1/2),
  quiver/w=0,
  quiver/scale arrows=0.2,
  x filter/.expression={(-x^2-y^2+1)>0?x:nan},
  y filter/.expression={(-x^2-y^2+1)>0?y:nan},
  x filter/.expression={x==0&&y==0?nan:x},
  ] {0};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}